İki eğri arasında kalan alan nasıl bulunur Test 2

f(x) = x³ - 3x ve g(x) = x eğrileri ile sınırlanan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) 4
B) 6
C) 8
D) 10

Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün, iki eğri arasında kalan bölgenin alanını integral kullanarak nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Bu tür problemler, kalkülüsün en güzel uygulamalarından biridir.

• Adım 1: Eğrilerin Kesişim Noktalarını Bulma

  Öncelikle, $f(x) = x^3 - 3x$ ve $g(x) = x$ eğrilerinin hangi $x$ değerlerinde kesiştiğini bulmalıyız. Bu noktalar, integralimizin sınırlarını belirleyecektir. İki fonksiyonu birbirine eşitleyerek kesişim noktalarını buluruz:

  $f(x) = g(x)$

  $x^3 - 3x = x$

  Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

  $x^3 - 3x - x = 0$

  $x^3 - 4x = 0$

  Ortak çarpan olan $x$'i parantez dışına alalım:

  $x(x^2 - 4) = 0$

  Buradan $x=0$ bir köktür. Diğer kökleri bulmak için $x^2 - 4 = 0$ denklemini çözelim:

  $x^2 = 4$

  $x = \pm \sqrt{4}$

  $x = -2$ ve $x = 2$ olur.

  Böylece, eğriler $x = -2$, $x = 0$ ve $x = 2$ noktalarında kesişmektedir.

• Adım 2: Hangi Eğrinin Üstte Olduğunu Belirleme

  İki eğri arasında kalan alanı bulmak için, belirli aralıklarda hangi eğrinin diğerinin üstünde olduğunu bilmemiz gerekir. Kesişim noktalarımız $[-2, 0]$ ve $[0, 2]$ olmak üzere iki farklı aralık oluşturur.

  • Aralık $[-2, 0]$ için: Bu aralıktan rastgele bir $x$ değeri seçelim, örneğin $x = -1$.

    $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$

    $g(-1) = -1$

    Görüyoruz ki $f(-1) > g(-1)$, yani bu aralıkta $f(x)$ eğrisi $g(x)$ eğrisinin üstündedir. Bu aralıktaki integralimiz $f(x) - g(x)$ olacaktır.

    $f(x) - g(x) = (x^3 - 3x) - x = x^3 - 4x$

  • Aralık $[0, 2]$ için: Bu aralıktan rastgele bir $x$ değeri seçelim, örneğin $x = 1$.

    $f(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$

    $g(1) = 1$

    Görüyoruz ki $g(1) > f(1)$, yani bu aralıkta $g(x)$ eğrisi $f(x)$ eğrisinin üstündedir. Bu aralıktaki integralimiz $g(x) - f(x)$ olacaktır.

    $g(x) - f(x) = x - (x^3 - 3x) = x - x^3 + 3x = 4x - x^3$

• Adım 3: Alanı Hesaplamak İçin İntegralleri Kurma ve Çözme

  Toplam alan, her bir aralıktaki alanların toplamıdır. Bu nedenle iki ayrı integral hesaplamamız gerekecek:

  $A = \int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) dx + \int_{0}^{2} (4x - x^3) dx$

  Şimdi her bir integrali ayrı ayrı hesaplayalım:

  • Birinci integral: $\int_{-2}^{0} (x^3 - 4x) dx$

    İntegrali alalım:

    $\left[ \frac{x^4}{4} - 4\frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{0} = \left[ \frac{x^4}{4} - 2x^2 \right]_{-2}^{0}$

    Sınırları yerine koyalım:

    $\left( \frac{0^4}{4} - 2(0)^2 \right) - \left( \frac{(-2)^4}{4} - 2(-2)^2 \right)$

    $(0 - 0) - \left( \frac{16}{4} - 2(4) \right)$

    $0 - (4 - 8)$

    $0 - (-4) = 4$

  • İkinci integral: $\int_{0}^{2} (4x - x^3) dx$

    İntegrali alalım:

    $\left[ 4\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2} = \left[ 2x^2 - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2}$

    Sınırları yerine koyalım:

    $\left( 2(2)^2 - \frac{2^4}{4} \right) - \left( 2(0)^2 - \frac{0^4}{4} \right)$

    $\left( 2(4) - \frac{16}{4} \right) - (0 - 0)$

    $(8 - 4) - 0 = 4$

• Adım 4: Toplam Alanı Bulma

  Toplam alan, bu iki integralin değerlerinin toplamıdır:

  $A = 4 + 4 = 8$ birimkare.

Böylece, $f(x) = x^3 - 3x$ ve $g(x) = x$ eğrileri ile sınırlanan bölgenin alanı $8$ birimkaredir.

Cevap C seçeneğidir.