İki eğri arasında kalan alan nasıl bulunur Test 2

y = eˣ, y = e⁻ˣ ve x = 1 doğrusu ile sınırlanan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) e + 1/e - 2
B) e - 1/e
C) e + 1/e
D) 2e - 2

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, belirli integraller kullanarak iki fonksiyon ve bir doğru arasında kalan bölgenin alanını nasıl hesaplayacağımızı adım adım öğreneceğiz. Sorumuz, $y = e^x$, $y = e^{-x}$ eğrileri ve $x = 1$ doğrusu ile sınırlanan bölgenin alanını bulmakla ilgili.

• 1. Adım: Bölgeyi Anlamak ve Sınırları Belirlemek

  Öncelikle, verilen eğrilerin ve doğrunun grafiklerini hayal etmeye çalışalım veya basitçe çizelim. Bu, hangi fonksiyonun diğerinin "üstünde" olduğunu ve integral sınırlarımızın ne olacağını anlamamıza yardımcı olur.

  • $y = e^x$ fonksiyonu artan bir fonksiyondur ve $(0, 1)$ noktasından geçer.
  • $y = e^{-x}$ fonksiyonu azalan bir fonksiyondur ve yine $(0, 1)$ noktasından geçer.
  • $x = 1$ doğrusu ise dikey bir sınırdır.

  Bu iki eğrinin kesişim noktasını bulalım:

  $e^x = e^{-x}$

  $e^x = \frac{1}{e^x}$

  Her iki tarafı $e^x$ ile çarparsak:

  $(e^x)^2 = 1$

  $e^{2x} = 1$

  Her iki tarafın doğal logaritmasını alırsak:

  $2x = \ln(1)$

  $2x = 0$

  $x = 0$

  Yani, iki eğri $x = 0$ noktasında kesişir. Bu, integralimizin alt sınırı olacaktır. Üst sınır ise bize verilen $x = 1$ doğrusudur.

• 2. Adım: Hangi Fonksiyonun Üstte Olduğunu Belirlemek

  $x = 0$ ve $x = 1$ arasındaki bölgede hangi fonksiyonun diğerinden daha büyük olduğunu bulmalıyız. Bu aralıktan rastgele bir $x$ değeri seçelim, örneğin $x = 0.5$:

  • $y = e^{0.5} = \sqrt{e} \approx 1.648$
  • $y = e^{-0.5} = \frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0.606$

  Görüldüğü gibi, $e^x > e^{-x}$'tir. Dolayısıyla, $y = e^x$ üstteki fonksiyon (üst sınır), $y = e^{-x}$ ise alttaki fonksiyondur (alt sınır).

• 3. Adım: Alan Formülünü Kurmak

  İki eğri $f(x)$ ve $g(x)$ arasında $x = a$ ve $x = b$ arasında kalan bölgenin alanı, $f(x) \ge g(x)$ olmak üzere şu formülle bulunur:

  $A = \int_a^b (f(x) - g(x)) dx$

  Bizim durumumuzda:

  • $f(x) = e^x$
  • $g(x) = e^{-x}$
  • $a = 0$
  • $b = 1$

  Bu değerleri formülde yerine koyarsak:

  $A = \int_0^1 (e^x - e^{-x}) dx$

• 4. Adım: İntegrali Hesaplamak

  Şimdi belirli integrali hesaplayalım:

  $A = \left[ \int e^x dx - \int e^{-x} dx \right]_0^1$

  Biliyoruz ki $\int e^x dx = e^x$ ve $\int e^{-x} dx = -e^{-x}$.

  O halde, integralin ilkel fonksiyonu (antiderivatif) şudur:

  $A = [e^x - (-e^{-x})]_0^1$

  $A = [e^x + e^{-x}]_0^1$

  Şimdi üst ve alt sınırları yerine koyarak farkı alalım:

  $A = (e^1 + e^{-1}) - (e^0 + e^{-0})$

  $A = (e + \frac{1}{e}) - (1 + 1)$

  $A = e + \frac{1}{e} - 2$

Böylece, istenen bölgenin alanını $e + \frac{1}{e} - 2$ birimkare olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.