A = {x | |x - 2| < 3, x ∈ R} kümesi veriliyor. Buna göre A kümesinin aralık gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (-1, 5)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle mutlak değer içeren bir eşitsizliği çözerek bir kümenin aralık gösterimini bulacağız. Bu tür sorular, matematiksel düşünme becerilerinizi geliştirmek için harika bir fırsattır. Adım adım ilerleyelim ve bu soruyu birlikte çözelim.
Bize verilen küme $A = \{x | |x - 2| < 3, x \in R\}$ şeklindedir. Burada çözmemiz gereken temel eşitsizlik $|x - 2| < 3$ ifadesidir.
Genel olarak, bir $u$ sayısı ve pozitif bir $a$ sayısı için $|u| < a$ eşitsizliği, $u$'nun $-a$ ile $a$ arasında olduğunu ifade eder. Yani, $u$ sayısı $-a < u < a$ aralığında yer alır.
Şimdi bu kuralı kendi eşitsizliğimize uygulayalım. Bizim durumumuzda $u = x - 2$ ve $a = 3$'tür. Bu durumda $|x - 2| < 3$ eşitsizliği şu şekilde yazılır:
$-3 < x - 2 < 3$
Bu üçlü eşitsizliği çözmek için, $x$'i yalnız bırakmalıyız. Bunun için eşitsizliğin her tarafına $+2$ ekleyelim:
$-3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2$
Bu işlemi yaptığımızda eşitsizliğimiz şu hale gelir:
$-1 < x < 5$
Bulduğumuz $-1 < x < 5$ ifadesi, $x$'in $-1$ ile $5$ arasında olduğunu, ancak $-1$ ve $5$ değerlerini almadığını gösterir. Matematikte bu tür aralıklar açık aralık olarak adlandırılır ve parantezlerle gösterilir.
Bu durumda, $x$ değerlerinin kümesi $(-1, 5)$ aralığıdır.
Bulduğumuz aralık $(-1, 5)$'tir. Seçeneklere baktığımızda bu aralığın A seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
