"İki tek sayının çarpımı tektir" önermesini doğrudan ispatla kanıtlamak için aşağıdaki ifadelerden hangisi kullanılmalıdır?
A) a = 2m, b = 2n için ab = 4mn = 2(2mn)
B) a = 2m+1, b = 2n+1 için ab = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn+m+n) + 1
C) a = 2m, b = 2n+1 için ab = 4mn + 2m = 2(2mn+m)
D) a = m+n, b = m-n için ab = m² - n²
Bu soruda, "İki tek sayının çarpımı tektir" önermesini doğrudan ispatlamak için hangi matematiksel ifadenin kullanılması gerektiğini bulacağız. Doğrudan ispat, verilen koşullardan yola çıkarak mantıksal adımlarla sonuca ulaşma yöntemidir.
- Öncelikle, bir sayının tek veya çift olma tanımını hatırlayalım:
- Bir sayı, bir tam sayı $k$ için $2k$ şeklinde yazılabiliyorsa çift sayıdır.
- Bir sayı, bir tam sayı $k$ için $2k+1$ şeklinde yazılabiliyorsa tek sayıdır.
- Bizim önermemiz "İki tek sayının çarpımı tektir" olduğuna göre, ispatımıza iki tane tek sayı tanımlayarak başlamalıyız.
- Birinci tek sayıyı $a$ ve ikinci tek sayıyı $b$ olarak alalım. Tanıma göre:
- $a = 2m+1$ (burada $m$ bir tam sayıdır)
- $b = 2n+1$ (burada $n$ bir tam sayıdır)
- Şimdi, bu iki tek sayının çarpımını ($ab$) bulup sonucun da tek sayı tanımına uyduğunu göstermeliyiz.
- Seçenekleri inceleyelim:
- A) $a = 2m, b = 2n$ için $ab = 4mn = 2(2mn)$
- Bu ifade, iki çift sayının çarpımını göstermektedir. Sonuç $2(\text{bir tam sayı})$ şeklinde olduğu için çifttir. Bu bizim önermemize uygun değildir.
- B) $a = 2m+1, b = 2n+1$ için $ab = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2(2mn+m+n) + 1$
- Bu ifade, iki tek sayıyı doğru şekilde tanımlamıştır ($a = 2m+1$ ve $b = 2n+1$).
- Şimdi çarpımı yapalım:
- $ab = (2m+1)(2n+1)$
- $ab = 2m \cdot 2n + 2m \cdot 1 + 1 \cdot 2n + 1 \cdot 1$
- $ab = 4mn + 2m + 2n + 1$
- Bu ifadenin ilk üç terimini $2$ parantezine alalım:
- $ab = 2(2mn + m + n) + 1$
- Burada $m$ ve $n$ tam sayılar olduğu için, $2mn + m + n$ ifadesi de bir tam sayıdır. Bu tam sayıya $K$ diyelim.
- O halde, $ab = 2K + 1$ olur.
- Bu sonuç, tek sayı tanımına tamamen uymaktadır. Yani, iki tek sayının çarpımı da tektir. Bu ifade, önermeyi doğrudan ispatlamak için tam olarak aradığımız ifadedir.
- C) $a = 2m, b = 2n+1$ için $ab = 4mn + 2m = 2(2mn+m)$
- Bu ifade, bir çift sayı ($a = 2m$) ile bir tek sayının ($b = 2n+1$) çarpımını göstermektedir. Sonuç $2(\text{bir tam sayı})$ şeklinde olduğu için çifttir. Bu da bizim önermemize uygun değildir.
- D) $a = m+n, b = m-n$ için $ab = m^2 - n^2$
- Bu ifade, genel bir cebirsel özdeşliktir (iki kare farkı). Sayıların tek veya çift olma durumlarını doğrudan tanımlayarak ispat yapmamızı sağlamaz. Bu seçenek, önermeyi doğrudan ispatlamak için uygun bir başlangıç noktası değildir.
Yukarıdaki analizler sonucunda, iki tek sayının çarpımının tek olduğunu doğrudan ispatlamak için $a = 2m+1$ ve $b = 2n+1$ tanımlarını kullanarak çarpımı $2K+1$ formuna getiren B seçeneğindeki ifade kullanılmalıdır.
Cevap B seçeneğidir.
