f: R → R olmak üzere f = {(x,y) | y² = x} bağıntısı veriliyor. Bu bağıntının fonksiyon olmama nedeni aşağıdakilerden hangisidir?
A) Tanım kümesindeki bazı elemanlar değer kümesinde eşleşmiyor
B) Değer kümesindeki bazı elemanlar tanım kümesinde eşleşmiyor
C) Tanım kümesindeki her pozitif eleman iki farklı değerle eşleşiyor
D) Birebir değildir
Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki temel şartı sağlaması gerekir:
- 1. Şart (Tanım Kümesinin Tamamı Eşleşmeli): Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde bir görüntüsü olmalıdır. Yani, tanım kümesinde eşleşmeyen hiçbir eleman kalmamalıdır.
- 2. Şart (Tek Değerlilik): Tanım kümesindeki her elemanın değer kümesinde yalnızca bir tane görüntüsü olmalıdır. Yani, bir eleman birden fazla farklı değerle eşleşemez.
Şimdi verilen $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ olmak üzere $f = \{(x,y) | y^2 = x\}$ bağıntısını bu şartlar açısından adım adım inceleyelim:
- Verilen bağıntıda $y^2 = x$ denklemi bulunmaktadır. Bu denklemi $y$ için çözersek, $y = \pm \sqrt{x}$ elde ederiz.
- Pozitif $x$ değerleri için inceleme: Tanım kümesinden pozitif bir $x$ değeri alalım. Örneğin, $x=4$ olsun. $y^2 = 4$ denklemini çözdüğümüzde, $y$ için iki farklı değer buluruz: $y=2$ ve $y=-2$. Bu durumda, tanım kümesindeki $x=4$ elemanı, değer kümesindeki hem $2$ hem de $-2$ elemanlarıyla eşleşmektedir. Bu durum, fonksiyon olmanın 2. Şartı olan "Tanım kümesindeki her elemanın yalnızca bir görüntüsü olmalıdır" kuralını doğrudan ihlal etmektedir. Bir eleman iki farklı görüntüye sahip olamaz.
- Negatif $x$ değerleri için inceleme (Ek bilgi): Tanım kümesinden negatif bir $x$ değeri alalım. Örneğin, $x=-1$ olsun. $y^2 = -1$ denklemini çözdüğümüzde, gerçel sayılar kümesinde bu denklemi sağlayan bir $y$ değeri bulamayız (çünkü hiçbir gerçel sayının karesi negatif olamaz). Bu durumda, tanım kümesindeki $x=-1$ gibi negatif elemanların değer kümesinde hiçbir görüntüsü yoktur. Bu durum, fonksiyon olmanın 1. Şartı olan "Tanım kümesindeki her elemanın bir görüntüsü olmalıdır" kuralını ihlal etmektedir.
- Görüldüğü gibi, verilen bağıntı her iki temel fonksiyon şartını da ihlal etmektedir. Ancak seçenekler arasında en doğrudan ve yaygın olarak fonksiyon olmama nedeni olarak gösterilen durum, bir elemanın birden fazla görüntüye sahip olmasıdır (bu durum, grafiğe dikey bir çizgi çizildiğinde birden fazla noktada kesişmesiyle de anlaşılır).
Şimdi seçenekleri değerlendirelim:
- A) Tanım kümesindeki bazı elemanlar değer kümesinde eşleşmiyor: Bu ifade doğrudur (negatif $x$ değerleri için), ancak C seçeneği fonksiyon olmamanın bir diğer temel ve genellikle daha vurgulanan nedenini belirtir.
- B) Değer kümesindeki bazı elemanlar tanım kümesinde eşleşmiyor: Bu durum, bağıntının örten (surjective) olup olmadığıyla ilgilidir, bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını belirleyen temel bir şart değildir. Bir bağıntı fonksiyon olabilir ama örten olmayabilir.
- C) Tanım kümesindeki her pozitif eleman iki farklı değerle eşleşiyor: Bu ifade, yukarıda $x=4$ örneğinde gösterdiğimiz gibi, fonksiyon olmanın tek değerlilik şartını doğrudan ihlal etmektedir. Bu, bir bağıntının fonksiyon olmamasının en temel nedenlerinden biridir.
- D) Birebir değildir: Birebirlik (one-to-one), zaten bir fonksiyon olan bağıntılar için incelenen bir özelliktir. Bağıntı zaten fonksiyon olmadığı için birebir olup olmadığını konuşmak anlamsızdır. Ayrıca, birebir olmamak bir bağıntının fonksiyon olmamasına neden olmaz (örneğin $f(x)=x^2$ fonksiyonu birebir değildir ama bir fonksiyondur).
Bu durumda, verilen bağıntının fonksiyon olmamasının en açıklayıcı ve doğrudan nedeni, tanım kümesindeki pozitif elemanların birden fazla değerle eşleşmesidir.
Cevap C seçeneğidir.
