Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için önermeler mantığındaki "ve" ($\land$) bağlacının temel kuralını çok iyi anlamamız gerekiyor. Hadi adım adım inceleyelim:
- Öncelikle, soruda bize $p \land q$ önermesinin doğruluk değerinin $1$ (doğru) olduğu bilgisi verilmiş.
- Mantıkta "ve" ($\land$) bağlacı ile kurulan birleşik bir önermenin doğru ($1$) olabilmesi için, birleşen her iki önermenin de ayrı ayrı doğru ($1$) olması şarttır. Bu, "ve" bağlacının en temel kuralıdır.
- Yani, $p \land q \equiv 1$ ise, bu durum sadece ve sadece $p$ önermesinin doğruluk değerinin $1$ ve $q$ önermesinin doğruluk değerinin $1$ olduğu zaman gerçekleşir.
- Bu durumu bir doğruluk tablosu ile de düşünebiliriz:
- Eğer $p$ doğru ($1$) ve $q$ doğru ($1$) ise, $p \land q$ doğru ($1$) olur.
- Eğer $p$ doğru ($1$) ve $q$ yanlış ($0$) ise, $p \land q$ yanlış ($0$) olur.
- Eğer $p$ yanlış ($0$) ve $q$ doğru ($1$) ise, $p \land q$ yanlış ($0$) olur.
- Eğer $p$ yanlış ($0$) ve $q$ yanlış ($0$) ise, $p \land q$ yanlış ($0$) olur.
Gördüğünüz gibi, $p \land q$ önermesinin $1$ olduğu tek durum, hem $p$'nin hem de $q$'nun $1$ olmasıdır.
- Şimdi seçenekleri bu bilgi ışığında değerlendirelim:
- A) $p \equiv 0$: Eğer $p$ yanlış ($0$) olsaydı, $p \land q$ önermesi de kesinlikle yanlış ($0$) olurdu. Bu, soruda verilen $p \land q \equiv 1$ bilgisiyle çelişir. Dolayısıyla bu seçenek kesinlikle doğru değildir.
- B) $q \equiv 0$: Eğer $q$ yanlış ($0$) olsaydı, $p \land q$ önermesi de kesinlikle yanlış ($0$) olurdu. Bu da soruda verilen bilgiyle çelişir. Dolayısıyla bu seçenek kesinlikle doğru değildir.
- C) $p \equiv 1$ ve $q \equiv 1$: Bu durum, $p \land q$ önermesinin doğru ($1$) olmasının tek ve yegane koşuludur. Yani, $p \land q \equiv 1$ ise, $p$ kesinlikle $1$ ve $q$ kesinlikle $1$ olmalıdır. Bu ifade kesinlikle doğrudur ve verilen durumu tam olarak açıklar.
- D) $p \equiv 1$ veya $q \equiv 1$: Bu ifade, $p$ veya $q$'dan en az birinin doğru olduğunu belirtir. Eğer $p \land q \equiv 1$ ise, $p \equiv 1$ ve $q \equiv 1$ olmak zorundadır, bu durumda $p \equiv 1$ veya $q \equiv 1$ ifadesi de doğru olur. Ancak, bu ifade $p \land q \equiv 1$ olmasını tek başına garanti etmez. Örneğin, $p \equiv 1$ ve $q \equiv 0$ durumunda $p \equiv 1$ veya $q \equiv 1$ ifadesi doğru iken, $p \land q$ önermesi $0$ olur. Soru, $p \land q \equiv 1$ olduğunda kesinlikle doğru olan ve bu durumu tam olarak açıklayan ifadeyi sormaktadır. C seçeneği bu durumu tam olarak ve kesin bir şekilde açıklar.
Yukarıdaki analizler sonucunda, $p \land q$ önermesinin $1$ değerini almasının tek yolu, hem $p$'nin hem de $q$'nun $1$ değerini almasıdır.
Cevap C seçeneğidir.
