Ve bağlacının özellikleri Test 2

Bir matematik yarışmasında p: "√2 irrasyonel sayıdır" ve q: "π rasyonel sayıdır" önermeleri veriliyor. p ∧ q önermesinin doğruluk değeri ile ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) 1'dir çünkü p doğrudur
B) 1'dir çünkü q doğrudur
C) 0'dır çünkü q yanlıştır
D) 0'dır çünkü p yanlıştır

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruyu çözmek için, öncelikle verilen önermelerin her birinin doğruluk değerini ayrı ayrı belirlememiz gerekiyor. Ardından, bu doğruluk değerlerini kullanarak "$p \land q$" bileşik önermesinin doğruluk değerini bulacağız.

• Adım 1: "$p$" önermesinin doğruluk değerini belirleyelim.

  Verilen $p$ önermesi: "$ \sqrt{2} $ irrasyonel sayıdır."

  İrrasyonel sayılar, ondalık gösterimi tekrarsız ve sonsuz olan, yani $ a/b $ şeklinde (burada $ a $ ve $ b $ tam sayılar, $ b \neq 0 $) yazılamayan sayılardır. $ \sqrt{2} $ sayısının ondalık açılımı $ 1.41421356... $ şeklinde devam eder ve hiçbir zaman tekrar etmez veya sonlanmaz. Bu, $ \sqrt{2} $'nin irrasyonel bir sayı olduğu anlamına gelir.

  Dolayısıyla, "$p$" önermesi doğrudur. Doğruluk değeri $1$'dir.

• Adım 2: "$q$" önermesinin doğruluk değerini belirleyelim.

  Verilen $q$ önermesi: "$ \pi $ rasyonel sayıdır."

  Rasyonel sayılar, $ a/b $ şeklinde (burada $ a $ ve $ b $ tam sayılar, $ b \neq 0 $) yazılabilen sayılardır. $ \pi $ (pi) sayısı, matematikte çok önemli bir sabittir ve değeri yaklaşık $ 3.14159265... $ şeklinde devam eder. $ \pi $ sayısının ondalık açılımı da $ \sqrt{2} $ gibi tekrarsız ve sonsuzdur. Bu nedenle $ \pi $ bir irrasyonel sayıdır.

  Dolayısıyla, "$q$" önermesi "$ \pi $ rasyonel sayıdır" ifadesi yanlıştır. Doğruluk değeri $0$'dır.

• Adım 3: "$p \land q$" bileşik önermesinin doğruluk değerini bulalım.

  Şimdi $p$ ve $q$ önermelerinin doğruluk değerlerini kullanarak "$p \land q$" (p ve q) bileşik önermesinin doğruluk değerini hesaplayalım.

  • "$p$" önermesinin doğruluk değeri: $1$ (doğru)
  • "$q$" önermesinin doğruluk değeri: $0$ (yanlış)

  "$ \land $" (ve) bağlacı ile kurulan bir bileşik önermenin doğru olabilmesi için, bileşen önermelerin her ikisinin de doğru olması gerekir. Eğer bileşenlerden en az biri yanlışsa, bileşik önerme de yanlış olur.

  Bu durumda, $p \land q$ ifadesi $1 \land 0$ şeklinde olur. Bir doğru ($1$) ve bir yanlış ($0$) önermenin "ve" bağlacı ile birleşimi her zaman yanlıştır.

  Yani, $p \land q$ önermesinin doğruluk değeri $0$'dır.

• Adım 4: Seçenekleri değerlendirelim.

  Bulduğumuz sonuçlara göre seçenekleri inceleyelim:

  • A) $1$'dir çünkü $p$ doğrudur. (Yanlış, $p \land q$ değeri $0$'dır.)
  • B) $1$'dir çünkü $q$ doğrudur. (Yanlış, $p \land q$ değeri $0$'dır ve $q$ yanlıştır.)
  • C) $0$'dır çünkü $q$ yanlıştır. (Doğru, $p \land q$ değeri $0$'dır ve bunun nedeni $q$'nun yanlış olmasıdır.)
  • D) $0$'dır çünkü $p$ yanlıştır. (Yanlış, $p$ doğrudur.)

  Sonuç olarak, $p \land q$ önermesinin doğruluk değeri $0$'dır ve bunun sebebi $q$ önermesinin yanlış olmasıdır.

Cevap C seçeneğidir.