Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle bir karenin köşegen uzunluğunu nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Kareler ve üçgenler arasındaki ilişkiyi anlamak için harika bir fırsat!
-
Soruyu Anlayalım: Bize bir kenarı $4\sqrt{2}$ cm olan bir kare verilmiş ve köşegen uzunluğu soruluyor.
-
Karenin Özelliklerini Hatırlayalım: Bir kare, dört kenarı da eşit uzunlukta ve tüm iç açıları $90^\circ$ (dik açı) olan özel bir dörtgendir.
-
Köşegenin Oluşturduğu Şekil: Bir karenin köşegenini çizdiğimizde, kareyi iki eş dik üçgene ayırmış oluruz. Bu dik üçgenlerin dik kenarları (bacakları) karenin kenarlarıdır ve hipotenüsü (en uzun kenarı) ise karenin köşegenidir.
-
Pisagor Teoremini Uygulayalım: Dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasında bir ilişki vardır. Bu ilişkiye Pisagor Teoremi denir: "Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir." Eğer dik kenarlar $a$ ve $b$, hipotenüs $c$ ise, formül $a^2 + b^2 = c^2$ şeklindedir.
-
Değerleri Yerine Koyalım:
- Karenin bir kenar uzunluğu $a = 4\sqrt{2}$ cm olarak verilmiş.
- Köşegenin oluşturduğu dik üçgende, her iki dik kenar da karenin kenarı olduğu için $a = 4\sqrt{2}$ cm'dir.
- Köşegen uzunluğuna $d$ diyelim. Bu durumda Pisagor Teoremi'ne göre: $a^2 + a^2 = d^2$ olur.
- Yani $2a^2 = d^2$ formülünü kullanabiliriz.
-
Hesaplamayı Yapalım:
- $a = 4\sqrt{2}$ cm ise, $a^2 = (4\sqrt{2})^2$ olur.
- $(4\sqrt{2})^2 = 4^2 \times (\sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32$.
- Şimdi $2a^2 = d^2$ formülünde $a^2$ yerine $32$ yazalım: $2 \times 32 = d^2$.
- $64 = d^2$.
- $d$'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: $d = \sqrt{64}$.
- $\sqrt{64} = 8$.
- O halde köşegen uzunluğu $8$ cm'dir.
-
Ek Bilgi (Kısa Yol): Bir karenin kenar uzunluğu $a$ ise, köşegen uzunluğu her zaman $a\sqrt{2}$ formülüyle bulunabilir. Bu, Pisagor Teoremi'nin kareler için basitleştirilmiş halidir.
- Bizim örneğimizde $a = 4\sqrt{2}$ idi.
- Köşegen uzunluğu $d = a\sqrt{2} = (4\sqrt{2}) \times \sqrt{2}$.
- $d = 4 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 4 \times 2 = 8$ cm.
- Gördüğünüz gibi, sonuç yine aynı!
Bu adımları takip ederek, karenin köşegen uzunluğunu $8$ cm olarak bulduk.
Cevap A seçeneğidir.
