Dikdörtgenin alanı (a*b) Test 2

Çevresi 30 cm olan bir dikdörtgenin alanı en fazla kaç cm² olabilir?

A) 56.25
B) 56
C) 54
D) 52

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, çevresi belirli olan bir dikdörtgenin alanının en fazla kaç olabileceğini adım adım keşfedeceğiz. Bu tür problemler, geometrik şekillerin özelliklerini ve cebirsel ifadeleri bir araya getirerek çözülür. Hazırsanız başlayalım!

• 1. Adım: Problemi Anlamak ve Formülleri Hatırlamak

• Bize verilen bir dikdörtgenin çevresinin 30 cm olduğudur. Bizden istenen ise bu dikdörtgenin alanının alabileceği en büyük değerdir.

  • Dikdörtgenin kenar uzunluklarına $a$ (kısa kenar) ve $b$ (uzun kenar) diyelim.
  • Dikdörtgenin çevresi formülü: $Ç = 2 \times (a + b)$
  • Dikdörtgenin alanı formülü: $A = a \times b$
• 2. Adım: Çevre Bilgisini Kullanarak Kenarlar Arasındaki İlişkiyi Kurmak

• Çevre formülünü kullanarak kenarlar arasındaki ilişkiyi bulalım:

  • $2 \times (a + b) = 30$ cm
  • Her iki tarafı 2'ye bölersek: $a + b = 15$ cm
  • Bu denklemden $b$ kenarını $a$ cinsinden ifade edebiliriz: $b = 15 - a$
• 3. Adım: Alan Formülünü Tek Değişken Cinsinden Yazmak

• Şimdi, alanı hesaplamak için kullandığımız $A = a \times b$ formülünde $b$ yerine $15 - a$ yazalım:

  • $A = a \times (15 - a)$
  • Bu ifadeyi dağıtırsak: $A = 15a - a^2$

  Gördüğünüz gibi, alan ($A$) artık sadece tek bir değişkene ($a$) bağlı bir denklemdir. Bu denklem, bir parabol denklemini temsil eder ($A = -a^2 + 15a$). Parabolün katsayısı negatif olduğu için kolları aşağıya doğru bakar ve bu da bir maksimum değere sahip olduğu anlamına gelir. İşte bu maksimum değer, bizim aradığımız en büyük alandır!

• 4. Adım: Maksimum Alanı Bulmak (Tepe Noktası veya Türev Yöntemi)

• Bir parabolün tepe noktasının $x$-koordinatı (burada $a$ değeri), $x = rac{-B}{2A}$ formülüyle bulunur. Bizim denklemimiz $A = -a^2 + 15a$ olduğu için $A = -1$ ve $B = 15$ olur.

  • $a = rac{-15}{2 \times (-1)}$
  • $a = rac{-15}{-2}$
  • $a = 7.5$ cm

  Eğer türev biliyorsanız, alan fonksiyonunun türevini alıp sıfıra eşitleyerek de aynı sonuca ulaşabiliriz: $A'(a) = 15 - 2a$. $15 - 2a = 0 \Rightarrow 2a = 15 \Rightarrow a = 7.5$ cm.

• 5. Adım: Kenar Uzunluklarını ve Maksimum Alanı Hesaplamak

• Kısa kenar $a = 7.5$ cm olduğuna göre, uzun kenarı da bulalım:

  • $b = 15 - a = 15 - 7.5 = 7.5$ cm

  Gördüğümüz gibi, kenar uzunlukları birbirine eşit çıktı! Bu, çevresi belirli olan bir dikdörtgenin alanının en büyük olduğu durumun bir kare olduğunu gösterir. Şimdi alanı hesaplayalım:

  • $A = a \times b = 7.5 \times 7.5$
  • $A = (7.5)^2 = 56.25$ cm²

Bu durumda, çevresi 30 cm olan bir dikdörtgenin alanı en fazla $56.25$ cm² olabilir.

Cevap A seçeneğidir.