Birim çember üzerinde $\theta = \frac{5\pi}{4}$ radyanlık açıya karşılık gelen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulmak, trigonometrinin temel taşlarından biridir. Gelin, $\theta = \frac{5\pi}{4}$ radyanlık açıya karşılık gelen noktanın koordinatlarını adım adım bulalım.
Birim çember, merkezi başlangıç noktasında $(0,0)$ olan ve yarıçapı $1$ birim olan bir çemberdir. Birim çember üzerindeki bir noktanın koordinatları $(\cos\theta, \sin\theta)$ şeklinde ifade edilir. Burada $\theta$, pozitif x-ekseni ile noktanın birleştiği doğru parçası arasındaki açıdır.
Bize verilen açı $\theta = \frac{5\pi}{4}$ radyandır. Radyan cinsinden verilen bu açıyı daha iyi görselleştirmek için dereceye çevirebiliriz. $\pi$ radyanın $180^\circ$ olduğunu biliyoruz. O halde:
$\theta = \frac{5\pi}{4} = \frac{5 \times 180^\circ}{4} = 5 \times 45^\circ = 225^\circ$.
$225^\circ$ açısı, $180^\circ$ ile $270^\circ$ arasındadır. Bu da açının üçüncü bölgede yer aldığını gösterir.
Üçüncü bölgede hem x-koordinatı (kosinüs) hem de y-koordinatı (sinüs) negatiftir. Bu bilgi, seçenekleri elememize yardımcı olabilir.
Üçüncü bölgedeki bir açının referans açısı (x-ekseni ile yaptığı dar açı), açının $180^\circ$'den çıkarılmasıyla bulunur:
Referans açı $\alpha = 225^\circ - 180^\circ = 45^\circ$.
Referans açı $\alpha = 45^\circ$'nin sinüs ve kosinüs değerleri şöyledir: $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ve $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Açımız üçüncü bölgede olduğu için hem kosinüs hem de sinüs değerleri negatif olacaktır. Bu durumda:
$\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\sin(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$
Böylece noktanın koordinatları $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ olarak bulunur.
Bulduğumuz koordinatlar $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ seçeneği B ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
