Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, paralel doğrular ve bir kesen arasındaki açı ilişkilerini ve açıların bütünleri ile tümleri kavramlarını kullanarak bir denklem kurup çözmemiz gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:
- Verilen Bilgileri Anlayalım:
- $[AB // [CD$: Bu, $AB$ doğrusunun $CD$ doğrusuna paralel olduğunu gösterir.
- $[EF]$ kesendir: Bu doğru, paralel doğruları kesen doğrudur.
- $\alpha$ ve $\beta$ iç ters açılardır: Paralel doğrular arasında kalan ve kesenin zıt taraflarında bulunan açılardır.
- $\alpha$ açısının bütünleri $\beta$ açısının tümlerine eşittir.
- Açı İlişkilerini Hatırlayalım:
- Paralel iki doğru bir kesenle kesildiğinde, iç ters açılar birbirine eşittir. Yani, $\alpha = \beta$ olmalıdır.
- Bir açının bütünleri, o açıyı $180^\circ$'ye tamamlayan açıdır. Yani, $\alpha$'nın bütünleri $180^\circ - \alpha$'dır.
- Bir açının tümleri, o açıyı $90^\circ$'ye tamamlayan açıdır. Yani, $\beta$'nın tümleri $90^\circ - \beta$'dır.
- Denklemi Kuralım ve İlk Yorumu Yapalım:
- Soruda verilen "$\alpha$ açısının bütünleri $\beta$ açısının tümlerine eşittir" bilgisini matematiksel olarak yazarsak:
$180^\circ - \alpha = 90^\circ - \beta$
- Eğer $\alpha$ ve $\beta$ iç ters açılar ise, paralel doğrular nedeniyle $\alpha = \beta$ olmalıdır. Bu eşitliği yukarıdaki denklemde yerine koyalım:
$180^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha$
- Bu denklemi çözmeye çalıştığımızda, her iki taraftan $\alpha$'yı çıkarırsak:
$180^\circ = 90^\circ$
- Bu eşitlik yanlıştır ve bir çelişki oluşturur. Bu durum, sorunun "$\alpha$ ve $\beta$ iç ters açılardır" ifadesi ile "bütünler-tümler" ilişkisi arasında bir tutarsızlık olduğunu gösterir. Genellikle, iç ters açılar eşit olduğunda, bir açının bütünleri pozitifken, diğer açının tümleri negatif olabilir (eğer açı $90^\circ$'den büyükse), bu da eşitliği imkansız kılar.
- Olası Bir Yanlış Anlamayı Düzeltelim (Sık Karşılaşılan Bir Durum):
- Bu tür geometri sorularında bazen açı çiftlerinin isimlendirilmesinde bir karışıklık olabileceği veya sorunun aslında farklı bir açı ilişkisini kastettiği görülebilir. "İç ters açılar" yerine, "iç açılar" kategorisindeki başka bir ilişki, örneğin karşı durumlu açılar kastedilmiş olabilir.
- Karşı durumlu açılar, paralel doğrular arasında kesenin aynı tarafında bulunan açılardır ve toplamları $180^\circ$'dir. Yani, $\alpha + \beta = 180^\circ$ olur. Bu ilişkiyi kullanarak soruyu tekrar çözelim.
- Karşı Durumlu Açılar Varsayımıyla Çözüm:
- Eğer $\alpha$ ve $\beta$ karşı durumlu açılar ise:
$\alpha + \beta = 180^\circ$
- Bu eşitlikten $\beta$'yı $\alpha$ cinsinden ifade edebiliriz:
$\beta = 180^\circ - \alpha$
- Şimdi, soruda verilen "$\alpha$ açısının bütünleri $\beta$ açısının tümlerine eşittir" denklemini tekrar yazalım:
$180^\circ - \alpha = 90^\circ - \beta$
- $\beta = 180^\circ - \alpha$ ifadesini bu denklemde yerine koyalım:
$180^\circ - \alpha = 90^\circ - (180^\circ - \alpha)$
- Parantezi açalım ve işaretlere dikkat edelim:
$180^\circ - \alpha = 90^\circ - 180^\circ + \alpha$
- Sağ tarafı düzenleyelim:
$180^\circ - \alpha = -90^\circ + \alpha$
- Şimdi $\alpha$'ları bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayalım. Her iki tarafa $\alpha$ ekleyelim:
$180^\circ = -90^\circ + 2\alpha$
- Her iki tarafa $90^\circ$ ekleyelim:
$180^\circ + 90^\circ = 2\alpha$
- Toplama işlemini yapalım:
$270^\circ = 2\alpha$
- Son olarak, $\alpha$'yı bulmak için her iki tarafı $2$'ye bölelim:
$\alpha = \frac{270^\circ}{2}$
$\alpha = 135^\circ$
- Son Kontrol:
- Eğer $\alpha = 135^\circ$ ise, karşı durumlu açılar varsayımıyla $\beta = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$ olur.
- $\alpha$'nın bütünleri: $180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.
- $\beta$'nın tümleri: $90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.
- Gördüğümüz gibi, $\alpha$'nın bütünleri $\beta$'nın tümlerine eşit ($45^\circ = 45^\circ$). Bu, çözümümüzün doğru olduğunu gösterir.
Bu tür sorularda, verilen bilgilerin bazen tam olarak örtüşmeyebileceğini ve seçeneklerden yola çıkarak en mantıklı yorumu yapmamız gerektiğini unutmayın. Bu durumda, "iç ters açılar" ifadesi yerine "karşı durumlu açılar" ilişkisi kullanıldığında tutarlı bir çözüme ulaşıyoruz.
Cevap B seçeneğidir.
