Bir gezegenin kütlesi Dünya'nınkinin 15 katı, çapı ise Dünya'nınkinin 4 katıdır. Bu gezegenin ortalama yoğunluğu Dünya'nın ortalama yoğunluğundan önemli ölçüde düşüktür. Bu gezegenle ilgili aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
A) Karasal bir gezegendir
B) Gazsal bir gezegendir
C) Yoğunluğu Dünya ile aynıdır
D) Kütlesi Dünya'dan küçüktür
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir gezegenin kütle ve çap bilgilerini kullanarak onun yoğunluğunu Dünya ile karşılaştıracağız ve bu sayede gezegenin türü hakkında bir çıkarım yapacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Gezegenin kütlesi ($M_P$) Dünya'nın kütlesinin ($M_D$) 15 katı: $M_P = 15 M_D$.
- Gezegenin çapı ($D_P$) Dünya'nın çapının ($D_D$) 4 katı: $D_P = 4 D_D$. Bu durumda, gezegenin yarıçapı ($R_P$) da Dünya'nın yarıçapının ($R_D$) 4 katı olur: $R_P = 4 R_D$.
- Gezegenin ortalama yoğunluğu ($\rho_P$) Dünya'nın ortalama yoğunluğundan ($\rho_D$) önemli ölçüde düşüktür.
- 2. Yoğunluk Formülünü Hatırlayalım:
- Bir cismin yoğunluğu, kütlesinin hacmine bölünmesiyle bulunur: $\rho = rac{M}{V}$.
- Bir kürenin (gezegenleri yaklaşık olarak küre kabul ederiz) hacmi ise $V = rac{4}{3} \pi R^3$ formülüyle hesaplanır.
- 3. Gezegenin Yoğunluğunu Dünya'nın Yoğunluğuna Göre Hesaplayalım:
- Önce Dünya'nın yoğunluğunu yazalım: $\rho_D = rac{M_D}{V_D} = rac{M_D}{ rac{4}{3} \pi R_D^3}$.
- Şimdi gezegenin yoğunluğunu, verilen oranları kullanarak yazalım:
$M_P = 15 M_D$ ve $R_P = 4 R_D$ olduğu için:
$\rho_P = rac{M_P}{V_P} = rac{15 M_D}{ rac{4}{3} \pi (4 R_D)^3}$
- Denklemi basitleştirelim:
$\rho_P = rac{15 M_D}{ rac{4}{3} \pi (64 R_D^3)}$
$\rho_P = rac{15}{64} \times rac{M_D}{ rac{4}{3} \pi R_D^3}$
- Gördüğümüz gibi, $ rac{M_D}{ rac{4}{3} \pi R_D^3}$ ifadesi aslında Dünya'nın yoğunluğu olan $\rho_D$'ye eşittir.
Öyleyse, $\rho_P = rac{15}{64} \rho_D$.
- $ rac{15}{64}$ oranı yaklaşık olarak $0.234$'tür. Yani, gezegenin yoğunluğu Dünya'nın yoğunluğunun yaklaşık %23.4'ü kadardır.
- 4. Sonucu Yorumlayalım:
- Hesaplamalarımız, gezegenin yoğunluğunun Dünya'nın yoğunluğundan yaklaşık 4 kat daha az olduğunu gösteriyor ($ rac{1}{0.234} \approx 4.27$).
- Soruda da belirtildiği gibi, "Bu gezegenin ortalama yoğunluğu Dünya'nın ortalama yoğunluğundan önemli ölçüde düşüktür." Bu durum, yaptığımız hesaplamayla da tutarlıdır.
- Dünya, yüksek yoğunluklu, kayalık bir gezegendir (karasal gezegen). Ortalama yoğunluğu yaklaşık $5.5 \text{ g/cm}^3$'tür.
- Eğer bir gezegenin yoğunluğu Dünya'nınkinin dörtte birinden daha az ise (yaklaşık $1.3 \text{ g/cm}^3$ civarı), bu genellikle onun gazsal bir gezegen (gaz devi) olduğunu gösterir. Gaz devleri, çoğunlukla hidrojen ve helyum gibi hafif elementlerden oluşur ve karasal gezegenlere göre çok daha düşük yoğunluklara sahiptirler (örneğin Jüpiter'in ortalama yoğunluğu $1.33 \text{ g/cm}^3$, Satürn'ün $0.69 \text{ g/cm}^3$'tür).
- 5. Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) Karasal bir gezegendir: Karasal gezegenler yüksek yoğunlukludur. Bu gezegenin yoğunluğu Dünya'dan çok düşük olduğu için bu seçenek yanlıştır.
- B) Gazsal bir gezegendir: Düşük yoğunluk, gazsal gezegenlerin temel özelliğidir. Bu seçenek, hem hesaplamamızla hem de sorudaki "önemli ölçüde düşük yoğunluk" bilgisiyle uyumludur.
- C) Yoğunluğu Dünya ile aynıdır: Hem hesaplamamız hem de sorudaki bilgi bu seçeneği doğrudan çürütmektedir.
- D) Kütlesi Dünya'dan küçüktür: Soruda gezegenin kütlesinin Dünya'nınkinin 15 katı olduğu açıkça belirtilmiştir. Bu seçenek yanlıştır.
Bu analizler sonucunda, gezegenin düşük yoğunluğu nedeniyle gazsal bir gezegen olduğu sonucuna varırız.
Cevap B seçeneğidir.
