\( 5^{a} = 25 \) ve \( 2^{b} = 64 \) olduğuna göre \( a^{b} \) ifadesinin değeri kaçtır?
A) 8Bu soruda, verilen üslü ifadelerden $a$ ve $b$ değerlerini bulup, ardından $a^b$ ifadesinin değerini hesaplamamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Bize verilen ilk denklem $ 5^{a} = 25 $ şeklindedir.
Bu denklemi çözmek için, $25$ sayısını $5$'in bir kuvveti olarak yazmalıyız. $25$, $5$'in karesidir, yani $ 5^2 $ olarak ifade edilir.
Denklemimiz şu hale gelir: $ 5^{a} = 5^2 $.
Üslü ifadelerde tabanlar eşit olduğunda, üsler de eşit olmak zorundadır.
Bu durumda, $ a = 2 $ olarak bulunur.
Bize verilen ikinci denklem $ 2^{b} = 64 $ şeklindedir.
Bu denklemi çözmek için, $64$ sayısını $2$'nin bir kuvveti olarak yazmalıyız. $64$ sayısının $2$'nin kaçıncı kuvveti olduğunu bulmak için $2$'yi kendisiyle çarparak ilerleyelim:
$ 2^1 = 2 $, $ 2^2 = 4 $, $ 2^3 = 8 $, $ 2^4 = 16 $, $ 2^5 = 32 $, $ 2^6 = 64 $.
Gördüğümüz gibi, $ 64 = 2^6 $.
Denklemimiz şu hale gelir: $ 2^{b} = 2^6 $.
Yine, tabanlar eşit olduğundan üsler de eşit olmalıdır.
Bu durumda, $ b = 6 $ olarak bulunur.
Şimdi $a$ ve $b$ değerlerini bulduğumuza göre, bizden istenen $ a^{b} $ ifadesinin değerini hesaplayabiliriz.
$ a = 2 $ ve $ b = 6 $ değerlerini yerine koyarsak:
$ a^{b} = 2^6 $
$ 2^6 $ ifadesinin değerini 2. adımda zaten hesaplamıştık:
$ 2^6 = 64 $.
Dolayısıyla, $ a^{b} = 64 $ sonucuna ulaşırız.
Cevap D seçeneğidir.
