Sayı doğrusunda -50'den 50'ye kadar olan tam sayılar arasından, -10'a olan uzaklığı 25'ten küçük olan kaç tam sayı vardır?
A) 48Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, sayı doğrusundaki tam sayılarla ilgili bir uzaklık problemi çözüyoruz. Adım adım ilerleyerek soruyu kolayca anlayıp çözeceğiz.
Bir sayının başka bir sayıya olan uzaklığı matematiksel olarak mutlak değer ile ifade edilir. Soru, bir $x$ tam sayısının $-10$'a olan uzaklığının $25$'ten küçük olmasını istiyor. Bunu matematiksel olarak şöyle yazarız:
$|x - (-10)| < 25$
Bu ifadeyi düzenlersek:
$|x + 10| < 25$
Mutlak değer eşitsizliklerini çözerken, eşitsizliğin her iki tarafına da değeri yazarız, bir tarafı negatif yaparız. Yani, $|A| < B$ ise, $-B < A < B$ şeklinde yazılır.
Bizim durumumuzda $A = x + 10$ ve $B = 25$ olduğu için:
$-25 < x + 10 < 25$
Şimdi $x$'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her tarafından $10$ çıkaralım:
$-25 - 10 < x + 10 - 10 < 25 - 10$
$-35 < x < 15$
Bu, $x$ tam sayısının $-35$'ten büyük ve $15$'ten küçük olması gerektiği anlamına gelir.
$-35 < x < 15$ eşitsizliğini sağlayan tam sayılar şunlardır:
$-34, -33, -32, \dots, 13, 14$
Soru, sayı doğrusunda $-50$'den $50$'ye kadar olan tam sayılar arasından seçim yapmamızı istiyor. Yani $x$ aynı zamanda $-50 \le x \le 50$ koşulunu da sağlamalıdır.
Bizim bulduğumuz tam sayılar ($[-34, 14]$ aralığı), zaten $[-50, 50]$ aralığının tamamen içindedir. Bu yüzden, ek bir kısıtlama getirmemize gerek kalmaz.
Bir aralıktaki tam sayıların adedini bulmak için, en büyük tam sayıdan en küçük tam sayıyı çıkarıp $1$ ekleriz. Yani, $[a, b]$ aralığındaki tam sayı sayısı $b - a + 1$ formülüyle bulunur.
Bizim aralığımız $-34$'ten $14$'e kadar olduğu için ($a = -34$, $b = 14$):
Tam sayı sayısı $= 14 - (-34) + 1$
Tam sayı sayısı $= 14 + 34 + 1$
Tam sayı sayısı $= 48 + 1$
Tam sayı sayısı $= 49$
Bu adımları takip ederek, $-10$'a olan uzaklığı $25$'ten küçük olan $49$ tane tam sayı olduğunu bulduk.
Cevap B seçeneğidir.
