Gerçek sayılarda tanımlı \( A = (-\infty, -1) \) ve \( B = (-3, 4] \) kümeleri veriliyor. Buna göre \( A \cup B \) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (-\infty, 4] \)
B) \( (-3, -1) \)
C) \( (-\infty, -3) \)
D) \( [-1, 4] \)
Bu soruda, gerçek sayılarda tanımlı iki kümenin birleşimini bulmamız isteniyor. Kümelerin birleşimini bulmak için sayı doğrusunu kullanmak genellikle en anlaşılır yöntemdir. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Kümeleri Anlayalım: Verilen kümeler $ A = (-\infty, -1) $ ve $ B = (-3, 4] $ şeklindedir. $A$ kümesi, $-1$'den küçük tüm gerçek sayıları ($x < -1$) içerir ve $-1$ bu kümeye dahil değildir. $B$ kümesi ise $-3$'ten büyük ve $4$'e eşit veya $4$'ten küçük tüm gerçek sayıları ($-3 < x \le 4$) içerir. $-3$ bu kümeye dahil değildir, ancak $4$ bu kümeye dahildir.
- 2. Birleşim Kümesinin Anlamı: $ A \cup B $ kümesi, $A$ kümesinde olan veya $B$ kümesinde olan (ya da her ikisinde de olan) tüm elemanları içeren kümedir. Kısacası, iki kümenin tüm elemanlarını bir araya getiriyoruz.
- 3. Sayı Doğrusunda Gösterim: Bu kümeleri bir sayı doğrusu üzerinde hayal edelim veya çizelim. $A$ kümesi, sayı doğrusunun sol tarafından (sonsuzdan) gelir ve $-1$ noktasına kadar uzanır; $-1$ dahil değildir (açık aralık). $B$ kümesi, $-3$ noktasından başlar (dahil değil, açık aralık) ve $4$ noktasına kadar uzanır; $4$ dahildir (kapalı aralık).
- 4. Kümeleri Birleştirelim: Sayı doğrusunda $A$ ve $B$ kümelerinin kapladığı tüm alanı düşünelim.
- En soldaki uç nokta $A$ kümesinden gelir ve $ -\infty $ 'dur.
- En sağdaki uç nokta $B$ kümesinden gelir ve $ 4 $ 'tür (dahil).
- Şimdi aradaki değerleri inceleyelim: $A$ kümesi $x < -1$ değerlerini kapsarken, $B$ kümesi $-3 < x \le 4$ değerlerini kapsar.
- Örneğin, $-2$ sayısı $A$ kümesinde değildir (çünkü $-2 \not< -1$), ama $B$ kümesindedir (çünkü $-3 < -2 \le 4$). Dolayısıyla $-2$ birleşim kümesindedir.
- Örneğin, $-2.5$ sayısı $A$ kümesindedir (çünkü $-2.5 < -1$). Aynı zamanda $B$ kümesindedir (çünkü $-3 < -2.5 \le 4$). Dolayısıyla $-2.5$ birleşim kümesindedir.
- Gördüğümüz gibi, $A$ kümesi $ -\infty $ 'dan $-1$ 'e kadar olan kısmı, $B$ kümesi ise $-3$ 'ten $4$ 'e kadar olan kısmı kapsıyor. Bu iki aralığı birleştirdiğimizde, sayı doğrusu üzerinde $ -\infty $ 'dan başlayıp $ 4 $ 'e kadar devam eden kesintisiz bir aralık oluşur.
- $ -\infty $ her zaman açık aralıkla gösterilirken, $ 4 $ ise $B$ kümesine dahil olduğu için kapalı aralıkla gösterilir.
- Bu durumda, $ A \cup B = (-\infty, 4] $ olur.
Bu sonuca göre, doğru seçenek $ (-\infty, 4] $ olan seçenektir.
Cevap A seçeneğidir.
