Fen Lisesi (FL) nedir

Çözümlü Örnek 3

Soru:

Bir Fen Lisesi'nde Matematik Olimpiyat Takımı seçmeleri yapılmaktadır. Takıma girebilmek için, adayların aritmetik ortalama ile geometrik ortalama arasındaki ilişkiyi bilmeleri isteniyor. \(a\) ve \(b\) pozitif gerçel sayılar olmak üzere, \( \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \) eşitsizliğinin sağlandığı biliniyor. Buna göre, \(x > 0\) için \(f(x) = x + \frac{16}{x}\) ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır ve bu değeri hangi \(x\) sayısı için alır?

Çözüm:

📐 Verilen eşitsizliği (Aritmetik Ortalama ≥ Geometrik Ortalama) kullanacağız.

• ➡️ \(f(x) = x + \frac{16}{x}\) ifadesinde, \(a = x\) ve \(b = \frac{16}{x}\) alalım.
• ➡️ Aritmetik ortalama: \( \frac{a + b}{2} = \frac{x + \frac{16}{x}}{2} \)
• ➡️ Geometrik ortalama: \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{x \times \frac{16}{x}} = \sqrt{16} = 4 \)
• ➡️ Eşitsizliğe göre: \( \frac{x + \frac{16}{x}}{2} \geq 4 \)
• ➡️ Her iki tarafı 2 ile çarparsak: \( x + \frac{16}{x} \geq 8 \)

✅ Sonuç: \(f(x)\)'in alabileceği en küçük değer 8'dir. Bu değeri, eşitlik durumunda yani \( \frac{x + \frac{16}{x}}{2} = 4 \) olduğunda alır. Bu da \(x = \frac{16}{x}\) yani \(x^2 = 16\) ve \(x=4\) (x>0) için sağlanır.