Soru:
Hızı \(v\) km/sa, yakıt tüketimi ise \(y = 2 + 0.01v^2\) litre/sa formülüyle verilen bir kargo uçağı için, 1000 km'lik bir mesafede toplam yakıt tüketimini minimize eden uçuş hızı (\(v\)) kaç km/sa olmalıdır? (Not: \(y\) litre/sa cinsindendir.)
Çözüm:
💡 Toplam yakıt tüketimi, saatteki yakıt tüketimi ile yolculuk süresinin çarpımına eşittir. Amacımız bu toplamı en küçük yapan \(v\) değerini bulmaktır.
- ➡️ Adım 1: Toplam Yakıt Fonksiyonunu Yazalım.
Yolculuk süresi (\(t\)): \(t = \frac{\text{Mesafe}}{\text{Hız}} = \frac{1000}{v}\) saat.
Toplam Yakıt (\(T\)): \(T = \text{(Saatlik Tüketim)} \times \text{Süre} = y \times t\).
\(y\) yerine formülü yazarsak: \(T(v) = (2 + 0.01v^2) \times (\frac{1000}{v})\).
Sadeleştirelim: \(T(v) = \frac{2000}{v} + 10v\).
- ➡️ Adım 2: Türev Alıp Sıfıra Eşitleyelim.
\(T(v)\) fonksiyonunun türevini alalım: \(T'(v) = -\frac{2000}{v^2} + 10\).
Minimum için türevi sıfıra eşitleriz: \(-\frac{2000}{v^2} + 10 = 0\).
Bu denklemi çözelim: \(10 = \frac{2000}{v^2}\) → \(v^2 = \frac{2000}{10} = 200\) → \(v = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}\).
- ➡️ Adım 3: Sayısal Sonucu Bulalım.
\(10\sqrt{2} \approx 10 \times 1.414 = 14.14\) km/sa. Bu hız bir uçak için gerçekçi değildir, ancak problem matematiksel bir model üzerinden gitmektedir.
✅ Sonuç: Matematiksel modelimize göre toplam yakıt tüketimini minimize eden hız \(v = 10\sqrt{2}\) km/sa, yaklaşık 14.14 km/sa'tir. (Bu soru, ulaşım planlamasında ekonomik hız kavramının matematiksel temelini göstermek için verilmiştir.)
