Soru:
Bir öğrenci, bir cismin kütlesini (\(m\)) ve hacmini (\(V\)) ölçerek yoğunluğunu (\(\rho\)) hesaplamak istiyor. Kütleyi 120 g ± 2 g ve hacmi 25 cm³ ± 1 cm³ olarak ölçmüştür. Yoğunluğun mutlak ve bağıl hatasını hesaplayınız. (\(\rho = \frac{m}{V}\))
Çözüm:
💡 Bir büyüklük, ölçülen diğer büyüklüklere bağlı ise, toplam hatası bu büyüklüklerin bağıl hatalarının toplamı ile bulunur.
- ➡️ İlk adım, ortalama yoğunluğu hesaplamaktır:
\(\rho = \frac{m}{V} = \frac{120 \text{ g}}{25 \text{ cm³}} = 4.8 \text{ g/cm³}\)
- ➡️ İkinci adım, kütle ve hacmin bağıl hatalarını hesaplamaktır:
Kütlenin bağıl hatası: \(\frac{\Delta m}{m} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}\)
Hacmin bağıl hatası: \(\frac{\Delta V}{V} = \frac{1}{25} = 0.04\)
- ➡️ Üçüncü adım, yoğunluğun bağıl hatasını bulmaktır. Bölme işlemi olduğu için bağıl hatalar toplanır:
\(\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + \frac{\Delta V}{V} = \frac{1}{60} + 0.04 \approx 0.0167 + 0.04 = 0.0567\)
- ➡️ Dördüncü adım, mutlak hatayı hesaplamaktır:
\(\Delta \rho = \rho \cdot \frac{\Delta \rho}{\rho} = 4.8 \cdot 0.0567 \approx 0.27 \text{ g/cm³}\)
✅ Sonuç olarak, yoğunluk \(\rho = 4.80 \text{ g/cm³} \pm 0.27 \text{ g/cm³}\) şeklinde ifade edilir ve bağıl hata yaklaşık %5.67'dir.
