Soru:
Bir fizikçi, bir sarkacın salınım periyodunun (\(T\)) sadece sarkacın uzunluğuna (\(L\)) ve yer çekimi ivmesine (\(g\)) bağlı olduğunu düşünmektedir. Bu ilişkiyi bulmak için aşağıdaki verileri toplamıştır:
- Uzunluk, \(L\) = 1 m
- Yer çekimi ivmesi, \(g\) = 9.8 m/s²
- Ölçülen periyot, \(T\) = 2.0 s
Boyut analizi yöntemini kullanarak, periyot (\(T\)) için \(L\) ve \(g\) cinsinden bir bağıntı öneriniz. (\(T = k \cdot L^a \cdot g^b\))
Çözüm:
💡 Boyut analizi, fiziksel büyüklüklerin temel boyutları (Kütle-M, Uzunluk-L, Zaman-T) cinsinden ifade edilmesiyle çalışır.
- ➡️ İlk adım, büyüklüklerin boyutlarını yazmaktır:
- Periyot, \([T] = T\)
- Uzunluk, \([L] = L\)
- Yer çekimi ivmesi, \([g] = L T^{-2}\)
- ➡️ İkinci adım, \(T = k \cdot L^a \cdot g^b\) denkleminin boyutça eşit olmasını sağlamaktır:
\([T] = [L]^a \cdot [g]^b\)
\(T = (L)^a \cdot (L T^{-2})^b\)
\(T = L^{a+b} \cdot T^{-2b}\)
- ➡️ Üçüncü adım, üsleri eşitlemektir:
\(L\) için: \(a + b = 0\)
\(T\) için: \(-2b = 1\)
İkinci denklemden \(b = -\frac{1}{2}\) bulunur. Bu değer birinci denklemde yerine yazılırsa \(a - \frac{1}{2} = 0\) ve \(a = \frac{1}{2}\) elde edilir.
✅ Sonuç olarak, \(T = k \cdot \sqrt{\frac{L}{g}}\) bağıntısına ulaşılır. Bu, sarkacın periyot formülünün temelidir.
