Matematikte, özellikle limit ve türev konularında, paydanın köklü ifade içerdiği durumlarda belirsizlikler ortaya çıkabilir. Bu belirsizlikleri gidermek için en etkili yöntemlerden biri eşlenik ile çarpma tekniğidir.
Bir köklü ifadenin eşleniği, aynı terimleri içeren ancak işareti değişmiş olan ifadedir. Örneğin:
Eşlenik ile çarpmanın temel amacı, paydadan köklü ifadeyi kaldırmaktır. Bu işlem, iki kare farkı özdeşliğinden yararlanır:
\[ (a-b)(a+b) = a^2 - b^2 \]
Köklü ifadelerde bu formülü uyguladığımızda kökler kalkar:
\[ (\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b \]
\[ \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \] limitini hesaplayalım.
Çözüm:
\[ \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2} = \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} \]
\[ = \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \]
Limit değeri: \( \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4} \)
\[ \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1} \] limitini hesaplayalım.
Çözüm:
\[ \frac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1} \cdot \frac{\sqrt{x+3} + 2}{\sqrt{x+3} + 2} = \frac{x+3 - 4}{(x - 1)(\sqrt{x+3} + 2)} \]
\[ = \frac{x - 1}{(x - 1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x+3} + 2} \]
Limit değeri: \( \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4} \)
Eşlenik ile çarpma yöntemi, köklü ifadelerin yer aldığı belirsizlikleri gidermek için güçlü ve etkili bir araçtır. Bu tekniği doğru uygulayabilmek için iki kare farkı özdeşliğini iyi anlamak ve bol pratik yapmak önemlidir.
