Soru:
Bir firmanın toplam maliyet fonksiyonu \( TC(q) = q^3 - 6q^2 + 15q + 50 \) şeklindedir. Bu firmanın ortalama değişken maliyetinin (AVC) minimum olduğu üretim miktarını (\(q\)) bulunuz.
Çözüm:
💡 Ortalama Değişken Maliyet (AVC), Değişken Maliyetin (VC) üretim miktarına bölümüdür. Bir fonksiyonun minimumunu bulmak için türev alıp sıfıra eşitleriz.
- ➡️ Adım 1: Önce Değişken Maliyet (VC) fonksiyonunu bulalım. TC = VC + FC olduğundan, FC'yi ayıralım.
TC fonksiyonunda sabit terim 50, bu FC'dir. O halde:
\( VC(q) = TC(q) - FC = (q^3 - 6q^2 + 15q + 50) - 50 \)
\( VC(q) = q^3 - 6q^2 + 15q \)
- ➡️ Adım 2: Şimdi Ortalama Değişken Maliyet (AVC) fonksiyonunu yazalım:
\( AVC(q) = \frac{VC(q)}{q} = \frac{q^3 - 6q^2 + 15q}{q} \)
\( AVC(q) = q^2 - 6q + 15 \)
- ➡️ Adım 3: AVC fonksiyonunun minimumunu bulmak için birinci türevini alıp sıfıra eşitleyelim:
\( AVC'(q) = 2q - 6 \)
\( 2q - 6 = 0 \)
\( 2q = 6 \)
\( q = 3 \)
- ➡️ Adım 4: Bulduğumuz noktanın minimum olduğundan emin olmak için ikinci türeve bakalım:
\( AVC''(q) = 2 \) (Bu her zaman pozitif olduğu için q=3 noktası bir minimum noktasıdır.)
✅ Sonuç: Ortalama değişken maliyet, \( q = 3 \) birimlik üretim miktarında minimum değerine ulaşır.
