Soru: \[\int \sin x \cos x \, dx\] integralini hesaplayınız.
Çözüm: İki yöntemle çözebiliriz:
- Yöntem 1 (Trigonometrik Özdeşlik): \[\sin 2x = 2 \sin x \cos x \Rightarrow \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x\] O halde integral: \[\int \sin x \cos x \, dx = \int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \int \sin 2x \, dx\] \[u = 2x, \, du = 2 dx \Rightarrow dx = \frac{du}{2}\] \[\frac{1}{2} \int \sin u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{4} \int \sin u \, du = -\frac{1}{4} \cos u + C = -\frac{1}{4} \cos 2x + C\]
- Yöntem 2 (Değişken Değiştirme): \[u = \sin x, \, du = \cos x \, dx\] O zaman integral: \[\int u \, du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{\sin^2 x}{2} + C\] İki sonuç da doğrudur, çünkü trigonometrik özdeşliklerle birbirine dönüştürülebilirler.
