Soru:
Aşağıdaki rasyonel eşitsizliğin çözüm aralığını bulunuz:
\( \frac{x+1}{x-4} > 0 \)
Çözüm:
💡 Bir kesrin pozitif olması için pay ve paydanın aynı işarette olması gerekir (ikisi de pozitif VEYA ikisi de negatif). Ayrıca, payda asla sıfır olamaz!
- ➡️ İlk adım, kritik noktaları bulmaktır. Payı sıfır yapan \(x = -1\), paydayı sıfır yapan \(x = 4\) noktalarıdır. \(x=4\) paydayı sıfır yaptığı için tanımsızlık noktasıdır ve çözüm aralığına dahil edilemez.
- ➡️ Bu noktaları sayı doğrusunda işaretleyip aralıkları inceleyelim:
Aralık 1 (\(x < -1\)): Pay (\(x+1\)) negatif, Payda (\(x-4\)) negatif → \( \frac{(-)}{(-)} = (+) \) (Pozitif)
Aralık 2 (\(-1 < x < 4\)): Pay (\(x+1\)) pozitif, Payda (\(x-4\)) negatif → \( \frac{(+)}{(-)} = (-) \) (Negatif)
Aralık 3 (\(x > 4\)): Pay (\(x+1\)) pozitif, Payda (\(x-4\)) pozitif → \( \frac{(+)}{(+)} = (+) \) (Pozitif)
- ➡️ Eşitsizlik "> 0" (pozitif) olduğu için, işaretin pozitif olduğu aralıkları seçeriz. Ancak dikkat! Eşitsizlikte "≥" değil ">" kullanıldığı için, payın sıfır olduğu nokta (\(x = -1\)) kesrin değerini 0 yapar ve bu da eşitsizliği sağlamaz (0 > 0 yanlıştır).
✅ Sonuç olarak, çözüm aralığı \(x < -1\) ve \(x > 4\) olur. Tanımsızlık noktası (x=4) ve payın sıfır yaptığı nokta (x=-1) dahil değildir. Çözüm aralığı: \( (-\infty, -1) \cup (4, \infty) \)
