✍️ Çözüm:Bir bağıntının gerçek sayılarda bir fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesindeki her gerçek sayıyı, değer kümesindeki yalnızca bir gerçek sayıya eşlemesi gerekir. Ayrıca, verilen ifade tüm gerçek sayılar için tanımlı olmalıdır.
Her seçeneği tek tek inceleyelim:
- A) $f(x) = \frac{x+2}{x-3}$
Bu ifadede payda $x-3$'tür. Eğer payda sıfır olursa, ifade tanımsız olur. Yani $x-3 = 0 \implies x = 3$ değeri için fonksiyon tanımsızdır. Bu durumda $f$, tüm gerçek sayılarda tanımlı değildir. Tanım kümesi $\mathbb{R} \setminus \{3\}$'tür. Bu yüzden bir fonksiyon değildir.
- B) $f(x) = \sqrt{x-4}$
Gerçek sayılarda karekökün içindeki ifade negatif olamaz. Bu nedenle $x-4 \ge 0$ olmalıdır, bu da $x \ge 4$ anlamına gelir. Fonksiyon, $x < 4$ olan gerçek sayılar için tanımlı değildir. Tanım kümesi $[4, \infty)$'dur. Bu yüzden bir fonksiyon değildir.
- C) $f(x) = x^3 - 2x + 5$
Bu ifade bir polinom fonksiyondur. Polinom fonksiyonlar, tüm gerçek sayılar için tanımlıdır ve her $x$ gerçek sayısı için yalnızca bir $y$ gerçek değeri üretir. Dolayısıyla, bu bağıntı gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyondur.
- D) $x^2 + y^2 = 16$
Bu denklem merkezi orijin olan $4$ birim yarıçaplı bir çemberi temsil eder. Örneğin, $x=0$ için $0^2 + y^2 = 16 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm 4$ olur. Yani $x=0$ değeri, hem $y=4$ hem de $y=-4$ değerleriyle eşleşir. Bir $x$ değeri birden fazla $y$ değeriyle eşleştiği için bu bir fonksiyon değildir. (Düşey doğru testini geçemez.)
- E) $x = y^2$
Bu denklem, $y$-eksenine göre simetrik, sağa doğru açılan bir paraboldür. Örneğin, $x=4$ için $4 = y^2 \implies y = \pm 2$ olur. Yani $x=4$ değeri, hem $y=2$ hem de $y=-2$ değerleriyle eşleşir. Bir $x$ değeri birden fazla $y$ değeriyle eşleştiği için bu bir fonksiyon değildir. (Düşey doğru testini geçemez.)
Yukarıdaki incelemelere göre, sadece C seçeneği gerçek sayılarda tanımlı bir fonksiyondur.
