İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözüm kümesini bulmak için öncelikle eşitsizliği sağlayan kökleri bulmamız ve ardından bir işaret tablosu oluşturmamız gerekir.
Verilen eşitsizlik: $x^2 - 4x - 21 < 0$.
Adım 1: Kökleri Bulma
Eşitsizliğin köklerini bulmak için $x^2 - 4x - 21 = 0$ denklemini çözeriz.
Bu ifadeyi çarpanlarına ayırabiliriz. Çarpımları $-21$ ve toplamları $-4$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $-7$ ve $3$'tür.
Yani, $(x-7)(x+3) = 0$ olur.
Buradan kökler $x-7=0 \Rightarrow x_1 = 7$ ve $x+3=0 \Rightarrow x_2 = -3$ olarak bulunur.
Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma
Bulduğumuz kökleri (küçükten büyüğe sıralayarak) bir sayı doğrusu üzerine yerleştirip işaret tablosu oluştururuz.
Eşitsizliğimiz $x^2 - 4x - 21 < 0$ olduğu için, $x^2$ teriminin katsayısı $1$ (pozitif) olduğundan, en sağdaki aralık pozitif işaretle başlar ve her kökte işaret değiştiririz.
İşaret tablosu aşağıdaki gibidir:
$x$ $|$ $-\infty$ $-3$ $7$ $+\infty$
$x^2 - 4x - 21$ $|$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
Adım 3: Çözüm Kümesini Belirleme
Eşitsizliğimiz $x^2 - 4x - 21 < 0$ olduğu için, ifadenin negatif olduğu aralığı arıyoruz.
Tablodan görüldüğü üzere, ifade $x \in (-3, 7)$ aralığında negatiftir.
Eşitsizlikte kesin küçüktür ($<$) ifadesi olduğu için kökler çözüm kümesine dahil edilmez, bu yüzden açık aralık kullanılır.
Çözüm kümesi $(-3, 7)$'dir.
Doğru cevap A seçeneğidir.
