12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 5. senaryo meb soruları Çözümlü Sorular

Limit özelliklerine göre, eğer $\lim_{x \to a} f(x)$ ve $\lim_{x \to a} g(x)$ limitleri mevcutsa:

• Sabit bir $c$ sayısı için $\lim_{x \to a} c \cdot f(x) = c \cdot \lim_{x \to a} f(x)$
• $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)$
• $\lim_{x \to a} (f(x) - g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x)$
• $\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x)$
• $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}$, yeter ki $\lim_{x \to a} g(x) \neq 0$ olsun.

Verilen ifadeyi bu özelliklere göre parçalayabiliriz:

İstenen limit: $\lim_{x \to 2} \frac{f(x) + 2g(x)}{x^2 - 1}$

Bu limiti pay ve paydanın limitleri olarak ayırabiliriz, çünkü paydanın limiti $0$ olmayacaktır:

$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) + 2g(x)}{x^2 - 1} = \frac{\lim_{x \to 2} (f(x) + 2g(x))}{\lim_{x \to 2} (x^2 - 1)}$

Şimdi payın limitini ayrı ayrı hesaplayalım:

$\lim_{x \to 2} (f(x) + 2g(x)) = \lim_{x \to 2} f(x) + \lim_{x \to 2} (2g(x))$

Sabit çarpan özelliğini kullanarak:

$\lim_{x \to 2} f(x) + 2 \cdot \lim_{x \to 2} g(x)$

Verilen değerleri yerine yazarsak:

$3 + 2 \cdot (-1) = 3 - 2 = 1$

Şimdi paydanın limitini hesaplayalım. $x^2 - 1$ bir polinom fonksiyonu olduğu için limitini doğrudan $x$ yerine $2$ yazarak bulabiliriz:

$\lim_{x \to 2} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3$

Paydanın limiti $3$ olduğu için $0$ değildir, dolayısıyla kesrin limitini hesaplayabiliriz.

Sonuç olarak, limitin değeri:

$\frac{1}{3}$

Doğru cevap A seçeneğidir.