Bir doğal sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için, önce sayıyı asal çarpanlarına ayırırız. Daha sonra bu asal çarpanların kuvvetlerini kullanarak bir formül uygularız.
Sayımızı, en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye devam ederiz ve asal çarpanlarını buluruz.
Örnek: 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
72 = 23 . 32 şeklinde yazılır.
Sayıyı asal çarpanlarının kuvvetleri şeklinde yazdıktan sonra, aşağıdaki formülü uygularız:
\( N = a^x . b^y . c^z ... \) ise
Pozitif Tam Bölen Sayısı = (x + 1) . (y + 1) . (z + 1) ...
Yani, tüm asal çarpanların kuvvetlerinin birer fazlasını alıp bu sayıları birbiriyle çarparız.
Örnek 1: 72 sayısının pozitif tam bölen sayısını bulalım.
Örnek 2: 100 sayısının pozitif tam bölen sayısını bulalım.
Örnek 3: 360 sayısının pozitif tam bölen sayısını bulalım.
Soru 1: Bir okulda düzenlenen turnuva için 144 öğrenci, her takımda eşit sayıda öğrenci olacak şekilde gruplara ayrılacaktır. Bir gruptaki öğrenci sayısı 10'dan fazla olduğuna göre, bu koşulu sağlayan kaç farklı grup sayısı vardır?
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8
Cevap: c) 6
Çözüm: 144 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış hali \(2^4 \times 3^2\)'dir. Pozitif tam sayı bölen sayısı (4+1)(2+1)=5x3=15'tir. 10'dan büyük bölenler: 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144. Ancak soruda "grup sayısı" sorulmaktadır. Grup sayısı, bir gruptaki öğrenci sayısı (bölen) değil, oluşturulabilecek grup adedidir. Örneğin, grupta 12 öğrenci varsa 144/12=12 grup olur. 10'dan büyük grup sayıları: 12, 16, 18, 24, 36, 48 (72, 144 ve 144, 72 gruplar 10'dan küçük olduğu için elenir). Cevap 6'dır.
Soru 2: \( A = 2^a \times 3^2 \times 5 \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılan A sayısının 18 tane pozitif tam sayı böleni olduğuna göre, a kaçtır?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Cevap: b) 2
Çözüm: Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, asal çarpanlarının üslerinin birer fazlasının çarpımına eşittir. Buna göre: (a+1)(2+1)(1+1) = 18 → (a+1) x 3 x 2 = 18 → (a+1) x 6 = 18 → a+1 = 3 → a = 2 bulunur.
Soru 3: \( K = 6^2 \times 15^3 \) sayısının asal olmayan pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?
a) 71 b) 72 c) 73 d) 74 e) 75
Cevap: a) 71
Çözüm: İlk önce K sayısını asal çarpanlarına ayıralım: \( 6^2 = (2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 \), \( 15^3 = (3 \times 5)^3 = 3^3 \times 5^3 \). Dolayısıyla, \( K = 2^2 \times 3^{2+3} \times 5^3 = 2^2 \times 3^5 \times 5^3 \). Pozitif tam bölen sayısı: (2+1)(5+1)(3+1)=3x6x4=72'dir. Bu 72 bölenden asal olanları (2, 3, 5) çıkarırsak asal olmayanların sayısını buluruz: 72 - 3 = 69. Ancak bu yaygın bir hata yoludur. Doğru çözüm: "Asal olmayan pozitif tam bölen" ifadesi 1 sayısını da içerir (1 asal değildir). 72 bölenin 3 tanesi asal, 1 tanesi (1 sayısı) ise asal olmayan bir bölendir. Fakat 1 zaten 72 bölenin içindedir. Bu nedenle asal olmayan bölen sayısı: Toplam bölen sayısı - Asal bölen sayısı = 72 - 3 = 69 değildir. Doğrusu: Tüm pozitif bölenler (72 adet) = {1} + {Asal bölenler} + {
