10. Sınıf Cebirsel ve Fonksiyonel İşlemlerin Algoritmik Yapısı

Question

Bu konuda cebirsel ifadeleri ve fonksiyonları bilgisayarın anlayabileceği bir şekilde nasıl adım adım göstereceğimizi öğreniyoruz. Özellikle karmaşık formülleri algoritmaya dökerken hangi işlemin önce yapılacağını karıştırabiliyorum. Fonksiyonlarda girdi ve çıktıları takip etmekte de bazen zorlanıyorum.

Answer 1

Cebirsel ve Fonksiyonel İşlemlerin Algoritmik Yapısı

Matematikteki işlemleri adım adım, mantıksal bir sıra ile çözmeye algoritmik düşünme denir. Bu yaklaşım, karmaşık görünen problemleri daha küçük, yönetilebilir parçalara bölerek çözmemizi sağlar.

1. Cebirsel İşlemlerin Algoritması

Cebirsel bir ifadeyi sadeleştirmek veya bir denklemi çözmek için belirli bir sıra takip edilir. Bu sıraya işlem önceliği denir.

• Adım 1: Parantez içindeki işlemler yapılır.
  Örneğin: \( 5 \times (3 + 2) \) işleminde önce \(3 + 2 = 5\) hesaplanır.
• Adım 2: Üslü ifadeler hesaplanır.
  Örneğin: \( 2 + 3^2 \) işleminde önce \(3^2 = 9\) hesaplanır.
• Adım 3: Çarpma ve bölme işlemleri (soldan sağa doğru) yapılır.
• Adım 4: Toplama ve çıkarma işlemleri (soldan sağa doğru) yapılır.

Örnek Algoritma: \( 4 + (6 \times 2^2) \div 3 \) işlemini adım adım çözelim:

• 1. Adım: Üs Alma → \( 2^2 = 4 \) (İfade: \( 4 + (6 \times 4) \div 3 \))
• 2. Adım: Parantez içi Çarpma → \( 6 \times 4 = 24 \) (İfade: \( 4 + 24 \div 3 \))
• 3. Adım: Bölme → \( 24 \div 3 = 8 \) (İfade: \( 4 + 8 \))
• 4. Adım: Toplama → \( 4 + 8 = 12 \) (Sonuç: 12)

2. Fonksiyonel İşlemlerin Algoritması

Bir fonksiyonun değerini bulmak veya fonksiyonlarla işlem yapmak için de bir algoritma izlenir. Fonksiyon, bir sayıyı (\(x\)) başka bir sayıya (\(f(x)\)) dönüştüren kuraldır.

Örnek: \( f(x) = 2x + 5 \) ve \( g(x) = x^2 - 1 \) fonksiyonları verilsin.
\( f(3) + g(2) \) işleminin sonucunu bulalım.

• Adım 1: Her fonksiyonun ayrı ayrı değerini bul.
  • \( f(3) = 2 \times 3 + 5 = 6 + 5 = 11 \)
  • \( g(2) = (2)^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \)
• Adım 2: Bulunan değerlerle istenen işlemi yap.
  • \( f(3) + g(2) = 11 + 3 = 14 \)

Fonksiyon Bileşkesi (fog(x)) Algoritması:
\( (f \circ g)(x) = f(g(x)) \) demektir. İşlem sırası şöyledir:

• Adım 1: Önce en içteki fonksiyonun değeri hesaplanır (\(g(x)\)).
• Adım 2: Bulunan sonuç, dıştaki fonksiyonda (\(f\)) \(x\) yerine yazılarak hesaplanır.

Örnek: \( f(x) = x + 2 \), \( g(x) = 3x \) ise \( (f \circ g)(4) \) nedir?

• 1

Answer 2

10. Sınıf Cebirsel ve Fonksiyonel İşlemlerin Algoritmik Yapısı Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir algoritma, girilen bir \( x \) gerçel sayısı için aşağıdaki adımları içermektedir:
1. Adım: \( a = 2x + 5 \) değerini hesapla.
2. Adım: \( b = a^2 - 3 \) değerini hesapla.
3. Adım: Sonucu \( b \) olarak yazdır.
Bu algoritmanın fonksiyonel gösterimi ve \( x = 1 \) için sonuç aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( f(x) = (2x+5)^2 - 3 \), Sonuç: 46
b) \( f(x) = 2x^2 + 5 \), Sonuç: 7
c) \( f(x) = 4x^2 + 20x + 22 \), Sonuç: 46
d) \( f(x) = 2x + 2 \), Sonuç: 4
e) \( f(x) = x^2 - 3 \), Sonuç: -2
Cevap: a) \( f(x) = (2x+5)^2 - 3 \), Sonuç: 46
Çözüm: Algoritma adımları sırayla takip edilirse \( f(x) = (2x+5)^2 - 3 \) fonksiyonu elde edilir. \( x = 1 \) için \( a = 2(1)+5 = 7 \), \( b = 7^2 - 3 = 49 - 3 = 46 \) olur.

Soru 2: \( f(x) = 3x - 1 \) ve \( g(x) = x^2 + 2 \) fonksiyonları veriliyor. \( f(g(x)) \) bileşke fonksiyonunu hesaplayan bir algoritma yazılmak isteniyor. Algoritmanın doğru çıktısı \( x = 2 \) için kaçtır ve bu süreçteki adımlar hangi cebirsel işlemlere karşılık gelir?
a) 17 - \( g(x)\)'i hesapla, sonra \(f\)'ye uygula
b) 29 - \( f(x)\)'i hesapla, sonra \(g\)'ye uygula
c) 11 - \( f(x)\) ve \(g(x)\)'i topla
d) 41 - \( f(x)\) ve \(g(x)\)'i çarp
e) 14 - \( g(x)\)'ten \(f(x)\)'i çıkar
Cevap: a) 17 - \( g(x)\)'i hesapla, sonra \(f\)'ye uygula
Çözüm: Bileşke fonksiyon \( f(g(x)) = 3(g(x)) - 1 = 3(x^2 + 2) - 1 = 3x^2 + 6 - 1 = 3x^2 + 5 \) şeklindedir. Algoritma önce \( g(2) = 2^2 + 2 = 6 \), sonra \( f(6) = 3*6 - 1 = 17 \) değerini hesaplamalıdır. Bu, "g(x)'i hesapla, sonra f'ye uygula" işlemine karşılık gelir.

Soru 3: Bir bilgisayar programı, bir fonksiyonun tanım kümesindeki her elemanı, değer kümesindeki tek bir elemanla eşleştiren bir algoritma ile çalışmaktadır. \( h(x) = \sqrt{2x - 4} \) fonksiyonu için bu algoritmanın doğru çalışabilmesi (yani fonksiyonun tanımlı olması) için girilebilecek \( x \) değerlerini belirleyen koşul aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( x > 0 \)
b) \( x \geq 4 \)
c) \( x \geq 2 \)
d) \( x \leq 2 \)
e) \( x > 2 \)
Cevap: c) \( x \geq 2 \)
Çözüm: Karekök fonksiyonunun içi (radikan) sıfır veya pozitif olmalıdır: \( 2x - 4 \geq 0 \). Bu eşitsizlik çözülürse \( 2x \geq 4 \), dolayısıyla \( x \geq