10. Sınıf Dış Açıortay Teoremi

Question

Bu teoremde üçgenin bir köşesinden çıkan dış açıortayın karşı kenarı kestiği nokta ile ilgili orantıyı anlamakta zorlanıyorum. Özellikle iç açıortayla karıştırmamak için hangi noktalara dikkat etmem gerektiğini tam kavrayamadım. Sorularda doğru orantıyı kurmakta sıkıntı yaşıyorum.

Answer 1

Dış Açıortay Teoremi Nedir?

Bir üçgende bir köşedeki dış açının açıortayı, karşı kenarın uzantısını belirli bir oranda böler. Bu oranı ifade eden bağıntıya Dış Açıortay Teoremi denir.

Teoremin İfadesi

ABC üçgeninde [AD, A köşesine ait bir dış açıortay olsun. Bu dış açıortay, [BC] kenarının uzantısını D noktasında kessin. Bu durumda aşağıdaki oran geçerlidir:

\( \dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \)

Hatırlatma: İç Açıortay Teoremi ile Farkı

• İç Açıortay Teoremi: Açıortay, karşı kenarı (BC'yi) içeriden böler. Oran: \( \dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \)
• Dış Açıortay Teoremi: Açıortay, karşı kenarın uzantısını böler. Oran yine \( \dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \) şeklindedir, ancak burada D noktası [BC] doğru parçası üzerinde değil, onun uzantısındadır.

Örnek Soru ve Çözüm

Soru: ABC üçgeninde |AB| = 8 cm, |AC| = 12 cm'dir. A köşesine ait dış açıortay [BC] kenarının uzantısını D noktasında kesmektedir. |BC| = 10 cm ise, |CD| = x kaç cm'dir?

Çözüm:

• Dış Açıortay Teoremi'ni uygulayalım: \( \dfrac{|BD|}{|DC|} = \dfrac{|AB|}{|AC|} \)
• Verilenleri yerine koyalım: \( \dfrac{|BD|}{x} = \dfrac{8}{12} \) → \( \dfrac{|BD|}{x} = \dfrac{2}{3} \)
• Buradan |BD| = \( \dfrac{2x}{3} \) olur.
• D noktası [BC]'nin uzantısında olduğu için, |BD| = |BC| + |CD| = 10 + x olmalıdır.
• İki denklemi eşitleyelim: \( 10 + x = \dfrac{2x}{3} \)
• İçler dışlar çarpımı yapalım: 3(10 + x) = 2x
• 30 + 3x = 2x
• 30 = -x
• x = -30

Uzunluk negatif olamayacağı için, mutlak değer alırız veya noktaların konumunu düşünürüz. Bu sonuç, D noktasının C'nin diğer tarafında olduğunu gösterir. Soruda genellikle uzunluk olarak pozitif değer istenir. Bu durumda |CD| = 30 cm olarak alınır.

Önemli Uyarı

Dış açıortay teoremini uygularken, noktaların konumuna ve uzunlukların işaretine dikkat etmek gerekir. Eğer işlem sonucu negatif bir uzunluk bulursanız, bu genellikle noktanın beklediğiniz tarafın tersinde olduğu anlamına gelir. Çözümde uzunluğun mutlak değerini alırsınız.

Answer 2

10. Sınıf Dış Açıortay Teoremi Çözümlü Test Soruları

Soru 1: ABC üçgeninde [AD, A açısının dış açıortayıdır. |AB| = 6 cm, |AC| = 8 cm ve |BC| = 7 cm'dir. D noktası BC doğrusu üzerinde olduğuna göre, |BD| kaç cm'dir?
a) 14   b) 18   c) 21   d) 24   e) 28
Cevap: c) 21
Çözüm: Dış açıortay teoremine göre: |BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 6/8 = 3/4. |BD| = 3k, |DC| = 4k diyelim. D noktası BC doğrusu üzerinde olduğundan |BD| = |BC| + |CD| = 7 + 4k = 3k → Buradan k = -7 çıkar ki bu imkansızdır. Bu durumda D noktası BC'nin uzantısındadır ve |BD| = |BC| + |CD| = 7 + 4k = 3k → 7 = -k → k = -7. Mutlak değer olarak |BD| = 3k = 21 cm bulunur.

Soru 2: ABC üçgeninde [AD, A açısının dış açıortayıdır. |AB| = 10 cm, |AC| = 15 cm ve |BD| = 12 cm'dir. Buna göre |BC| kaç cm'dir?
a) 6   b) 8   c) 10   d) 12   e) 14
Cevap: a) 6
Çözüm: Dış açıortay teoremi: |BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 10/15 = 2/3. |BD| = 12 cm verildiğine göre 12/|DC| = 2/3 → |DC| = 18 cm. D noktası BC'nin uzantısında olduğundan |BC| = |DC| - |BD| = 18 - 12 = 6 cm bulunur.

Soru 3: ABC üçgeninde [AD, A açısının dış açıortayıdır. |AB| = 8 cm, |AC| = 12 cm ve |BC| = 10 cm'dir. Buna göre |CD| kaç cm'dir?
a) 15   b) 20   c) 25   d) 30   e) 35
Cevap: d) 30
Çözüm: Dış açıortay teoremi: |BD|/|DC| = |AB|/|AC| = 8/12 = 2/3. |BD| = 2k, |DC| = 3k diyelim. D noktası BC'nin uzantısında olduğundan |CD| = |BC| + |BD| = 10 + 2k = 3k → 10 = k → k = 10. Bu durumda |CD| = 3k = 30 cm bulunur.

Soru 4: ABC üçgeninde [AD, A açısının dış açıortayıdır. |BD| = 16 cm, |DC| = 24 cm ve |AC| = 18 cm'dir. Buna göre |AB| kaç cm'dir?
a) 6   b) 9   c) 12   d) 15   e) 21
Cevap: c) 12
Çözüm: Dış açıortay teoremine göre: |BD|/|DC| = |AB|/|AC| → 16/24 = |AB|/18 → 2/3 = |AB|/18 → |AB| = (2×18)/3 = 12 cm bulunur.