Bir fonksiyonun tersi, fonksiyondaki girdi (x) ve çıktı (y) değerlerinin yerlerinin değiştirilmesiyle elde edilir. Bir f fonksiyonunun tersi f-1 şeklinde gösterilir.
Eğer bir fonksiyon ve onun tersi, y = x doğrusuna (1. açıortay doğrusu) göre simetrikse, bu iki fonksiyon birbirinin tersidir.
Bir noktanın y = x doğrusuna göre simetriği alınırken, noktanın x ve y koordinatları yer değiştirir.
Örneğin, A(a, b) noktasının y = x doğrusuna göre simetriği olan nokta A'(b, a)'dır.
Bir fonksiyonun grafiği üzerindeki herhangi bir (a, b) noktası için, bu fonksiyonun tersinin grafiği üzerinde (b, a) noktası bulunur. (a, b) ve (b, a) noktaları da y = x doğrusuna göre simetriktir.
Bu nedenle, bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği, y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.
f(x) = 2x + 1 fonksiyonunu ve onun tersi olan f-1(x) = (x - 1)/2 fonksiyonunu ele alalım.
Görüldüğü gibi (1, 3) ve (3, 1) noktaları y = x doğrusuna göre simetriktir. Bu durum grafik üzerindeki tüm noktalar için geçerlidir.
Bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği daima y = x doğrusuna göre simetriktir. Grafikleri çizerken veya yorumlarken bu simetri özelliğini kullanabiliriz.
Soru 1: f: R → R, f(x) = 2x - 6 fonksiyonunun tersi olan f⁻¹(x) fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir? Grafiklerin y = x doğrusuna göre simetri özelliğini dikkate alınız.
a) 2y - x - 6 = 0 doğrusu
b) y = (x/2) + 3 doğrusu
c) y = 2x + 6 doğrusu
d) y = (x/2) - 3 doğrusu
e) y = -2x + 6 doğrusu
Cevap: b) y = (x/2) + 3
Çözüm: Bir fonksiyonun tersinin grafiği, orijinal fonksiyonun grafiğinin y = x doğrusuna göre simetriğidir. f(x) = 2x - 6 ise f⁻¹(x) = (x + 6)/2 = x/2 + 3'tür. Seçeneklerden sadece b şıkkı bu denkleme karşılık gelir.
Soru 2: Gerçek sayılar kümesinde tanımlı bir f fonksiyonunun grafiği, A(1, 4) ve B(3, 10) noktalarından geçmektedir. Buna göre, f fonksiyonunun tersinin grafiği hangi iki noktadan kesinlikle geçer?
a) (1, 4) ve (3, 10)
b) (4, 1) ve (10, 3)
c) (-1, -4) ve (-3, -10)
d) (1, -4) ve (3, -10)
e) (-4, 1) ve (-10, 3)
Cevap: b) (4, 1) ve (10, 3)
Çözüm: Bir fonksiyonun grafiği (a, b) noktasından geçiyorsa, tersinin grafiği bu noktanın y=x doğrusuna göre simetriği olan (b, a) noktasından geçer. f(1)=4 ise f⁻¹(4)=1, yani (4,1) noktası. f(3)=10 ise f⁻¹(10)=3, yani (10,3) noktası.
Soru 3: f: R → R, f(x) = x³ - 1 fonksiyonu veriliyor. f ve f⁻¹ fonksiyonlarının grafikleri ile y = x doğrusu arasındaki ilişki için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) f ve f⁻¹ grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
b) f ve f⁻¹ grafikleri x eksenine göre simetriktir.
c) f ve f⁻¹ grafikleri y eksenine göre simetriktir.
d) f ve f⁻¹ grafikleri orijine göre simetriktir.
e) f ve f⁻¹ grafikleri y = -x doğrusuna göre simetriktir.
Cevap: a) f ve f⁻¹ grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
Çözüm: Birebir ve örten olan her fonksiyon ile tersinin grafiği, y = x doğrusuna göre simetriktir. f(x) = x³ - 1 fonksiyonu birebir ve örtendir, dolayısıyla bu kural geçerlidir.
