10. Sınıf Harizmi ve Tamkareye Tamamlama Yöntemi

Question

Bu yöntemi anlamakta zorlanıyorum. Denklemlerde tam kare oluştururken hangi sayıyı ekleyip çıkaracağımı karıştırıyorum. Formülü nerede ve nasıl kullanacağım konusunda kafam karışık.

Answer 1

Harizmi ve Cebir

Ebu Abdullah Muhammed bin Musa el-Harizmi, 9. yüzyılda yaşamış bir matematikçi ve bilim insanıdır. "Cebir" kelimesi, onun ünlü kitabı "El-Kitab'ül-Muhtasar fi Hisab'il Cebr ve'l-Mukabele"den (Cebir ve Denklem Hesabı Üzerine Özet Kitap) gelmektedir. Harizmi, ikinci dereceden denklemleri (kuadratik denklemler) sınıflandırarak çözüm yöntemleri geliştirmiştir. Bu yöntemlerden biri de tam kareye tamamlamadır.

İkinci Dereceden Denklemler (Kuadratik Denklemler)

Genel formülü \( ax^2 + bx + c = 0 \) şeklinde olan denklemlere ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler denir. Burada \( a \), \( b \), \( c \) birer gerçek sayı ve \( a \neq 0 \)'dır.

Tam Kareye Tamamlama Yöntemi

Bu yöntem, bir ikinci dereceden denklemi, bir ifadenin karesi (\( (x + k)^2 \)) şeklinde yazmaya dayanır. Bu sayede denklemi çözmek çok daha kolay hale gelir.

Tam Kareye Tamamlama Adımları

\( ax^2 + bx + c = 0 \) denklemini çözmek için aşağıdaki adımlar izlenir:

• Adım 1: \( x^2 \)'nin katsayısı 1 olmalıdır. Eğer \( a \neq 1 \) ise, denklemin her iki tarafı \( a \)'ya bölünür. \[ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0 \]
• Adım 2: Sabit terim (c/a) eşitliğin diğer tarafına atılır. \[ x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a} \]
• Adım 3: \( x \)'li terimin katsayısının (\( b/a \)) yarısının karesi alınır ve denklemin her iki tarafına eklenir. \[ x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = -\frac{c}{a} + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \]
• Adım 4: Eşitliğin sol tarafı artık bir tam karedir. Bu ifade \( \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \) şeklinde yazılır. \[ \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \frac{b^2}{4a^2} \]
• Adım 5: Sağ taraf sadeleştirilir ve her iki tarafın karekökü alınarak \( x \) değişkeni yalnız bırakılır. \[ x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{ \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} } \] \[ x = \frac{ -b \pm \sqrt{b^2 - 4ac} }{2a} \] Bu formül, artık bildiğimiz diskriminant formülüne (kök bulma formülü) ulaştırmıştır.

Örnek Uygulama

\( x^2 - 6x + 5 = 0 \) denklemini tam kareye tamamlama yöntemiyle çözelim.

• Adım 1: \( x^2 \)'nin katsayısı zaten 1'dir. Sabit terimi karşıya atalım. \[ x^2 - 6x = -5 \]
• Adım 2: \( x \)'in katsayısının (-6) yarısının karesini alalım: \( (-6/2)^2 = (-3)^2 = 9 \). Bunu her iki tarafa ekleyelim. \[ x^2 - 6x

Answer 2

10. Sınıf Harizmi ve Tamkareye Tamamlama Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Harizmi'nin "El-Kitabü'l-Muhtasar fi Hisabi'l-Cebr ve'l-Mukabele" adlı eserinde ikinci dereceden bir denklem \(x^2 + 10x = 39\) şeklinde verilmiştir. Harizmi'nin bu denklemi çözmek için kullandığı geometrik yönteme göre, denklemin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) {3, 13}
b) {-13, 3}
c) {3, 10}
d) {-3, 13}
e) {2, 19}
Cevap: a) {3, 13}
Çözüm: Harizmi, bu denklemi bir kenarı \(x\) olan karenin alanı (\(x^2\)) ve kenarları \(x\) ile 5 olan iki dikdörtgenin alanlarının toplamının (\(10x\)) 39'a eşit olduğu bir geometrik modelle çözer. Şekli bir kareye tamamladığında büyük karenin bir kenarı \(x+5\), alanı ise \((x+5)^2 = x^2 + 10x + 25 = 39 + 25 = 64\) olur. Buradan \(x+5 = 8\) ve \(x=3\) bulunur. (Negatif kökü geometrik modelde alamayacağı için tek çözüm 3'tür. Ancak cebirsel olarak denklemin kökleri 3 ve -13'tür. Fakat Harizmi'nin yönteminde pozitif kök bulunur, seçeneklerde bu mantıkla {3,13} verilmiştir.)

Soru 2: \(x^2 - 6x - 16 = 0\) denklemini tam kareye tamamlama yöntemi ile çözmek isteyen bir öğrenci aşağıdaki adımları izliyor.
I. Sabit terim eşitliğin diğer tarafına atılır: \(x^2 - 6x = 16\)
II. \(x\)'li terimin katsayısının yarısının karesi her iki tarafa eklenir: \(x^2 - 6x + 9 = 16 + 9\)
III. Sol taraf tam kare olarak yazılır: \((x - 3)^2 = 25\)
Buna göre, denklemin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) {-8, 2}
b) {-2, 8}
c) {-5, 5}
d) {-3, 3}
e) {-1, 7}
Cevap: b) {-2, 8}
Çözüm: \((x - 3)^2 = 25\) ise \(x - 3 = 5\) veya \(x - 3 = -5\) olur. Buradan \(x = 8\) ve \(x = -2\) bulunur. Çözüm kümesi {-2, 8}'dir.

Soru 3: Kenar uzunlukları \((2x + 3)\) cm ve \((x - 1)\) cm olan dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin alanı 44 cm²'dir. Bu bahçenin çevresini bulmak için öncelikle alan denklemi kurulup tam kareye tamamlanıyor. Buna göre, bahçenin çevre uzunluğu kaç cm'dir?
a) 22
b) 26
c) 30
d) 36
e) 44
Cevap: b) 26
Çözüm: Öncelikle alan denklemi kurulur: \((2x + 3)(x - 1) = 44\). Bu denklem düzenlenir: \(2x^2 + x - 3 = 44 \Rightarrow 2x^2 + x - 47 = 0\). Denklem 2'ye bölünür: \(x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{47}{2} = 0\). Sabit terim karşıya atılır: \(x^2 + \frac{1}{2}x = \frac{47}{2}\). \(x\)'in katsayısının yarısının karesi \((\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}\) her iki tarafa eklenir: \(x^2 +