10. Sınıf Karekök Fonksiyonu Grafiği ve Özellikleri

Question

Karekök fonksiyonunun grafiğini çizerken x ve y değerlerini nasıl bulacağımı tam olarak anlamadım. Ayrıca, grafiğin neden sadece belirli bir bölgede olduğunu ve öteleme durumlarında nasıl değiştiğini karıştırıyorum.

Answer 1

Karekök Fonksiyonu

Karekök fonksiyonu, bir değişkenin karekökünü alan fonksiyondur. En basit şekliyle f: [0, ∞) → [0, ∞) ve f(x) = √x şeklinde tanımlanır. Burada x, fonksiyonun girdisi (bağımsız değişken), f(x) ise çıktısıdır (bağımlı değişken).

Karekök Fonksiyonunun Grafiği

f(x) = √x fonksiyonunun grafiğini çizmek için x'e bazı değerler verir ve bu değerlere karşılık gelen f(x) (yani √x) değerlerini buluruz.

• x = 0 için, f(0) = √0 = 0 → Nokta: (0, 0)
• x = 1 için, f(1) = √1 = 1 → Nokta: (1, 1)
• x = 4 için, f(4) = √4 = 2 → Nokta: (4, 2)
• x = 9 için, f(9) = √9 = 3 → Nokta: (9, 3)

Bu noktaları koordinat sisteminde işaretleyip birleştirdiğimizde, başlangıç noktasından (0,0) çıkan ve sağa doğru yayılan bir yarım parabol şekli elde ederiz. Grafik, x eksenini sadece (0,0) noktasında keser.

Karekök Fonksiyonunun Özellikleri

• Tanım Kümesi: Karekökün içi (radikand) negatif olamayacağı için tanım kümesi [0, ∞)'dur. Yani x ≥ 0 olmak zorundadır.
• Görüntü Kümesi (Değer Kümesi): Bir sayının karekökü her zaman negatif olmayan bir sayıdır (0 veya pozitif). Bu nedenle görüntü kümesi de [0, ∞)'dur. Yani f(x) ≥ 0'dır.
• Artandır: Tanım aralığındaki her x₁ ve x₂ için; x₁ < x₂ ise √x₁ < √x₂ olur. Bu, fonksiyonun artan bir fonksiyon olduğu anlamına gelir.
• Birebir ve Örtendir: Tanım kümesindeki her farklı x değeri, görüntü kümesinde birbirinden farklı değerler üretir (Birebirdir). Ayrıca, görüntü kümesindeki her y değeri, tanım kümesindeki bir x değerinin görüntüsüdür (Örtendir).

f(x) = a√(bx + c) + d Formundaki Fonksiyonlar

Karekök fonksiyonu daha genel bir biçimde f(x) = a . √(b.x + c) + d şeklinde verilebilir. Buradaki a, b, c, d parametreleri grafiğin konumunu ve şeklini değiştirir.

• a Katsayısı: Grafiğin y eksenindeki genliğini (esnemesini) kontrol eder.
  • |a| > 1 ise grafik dikeyde uzar.
  • 0 < |a| < 1 ise grafik dikeyde daralır.
  • a < 0 ise grafik x eksenine göre yansıtılır (aşağıya doğru açılır).
• c ve d Sabitleri: Grafiğin ötelemesini (kaymasını) kontrol eder.
  • c: Gra

Answer 2

10. Sınıf Karekök Fonksiyonu Grafiği ve Özellikleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( f(x) = \sqrt{x - 3} \) fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( (-\infty, 3) \)   b) \( [3, \infty) \)   c) \( (-\infty, 3] \)   d) \( (3, \infty) \)   e) \( \mathbb{R} \)
Cevap: b) \( [3, \infty) \)
Çözüm: Karekök içindeki ifade sıfır veya pozitif olmalıdır. \( x - 3 \geq 0 \) eşitsizliğini çözersek, \( x \geq 3 \) bulunur. Bu da tanım kümesinin \( [3, \infty) \) aralığı olduğu anlamına gelir.

Soru 2: \( f(x) = -\sqrt{x} + 2 \) fonksiyonunun grafiği aşağıdaki temel \( \sqrt{x} \) grafiğine hangi dönüşümler uygulanarak elde edilir?
a) x eksenine göre yansıma, 2 birim yukarı öteleme
b) y eksenine göre yansıma, 2 birim aşağı öteleme
c) Orijine göre yansıma, 2 birim sağa öteleme
d) x eksenine göre yansıma, 2 birim aşağı öteleme
e) y eksenine göre yansıma, 2 birim yukarı öteleme
Cevap: a) x eksenine göre yansıma, 2 birim yukarı öteleme
Çözüm: Fonksiyondaki negatif işaret (-), grafiğin x eksenine göre yansıtılmasını; +2 sabiti ise grafiğin 2 birim yukarı ötelenmesini ifade eder.

Soru 3: \( f(x) = \sqrt{2x + 6} \) fonksiyonunun grafiği x eksenini hangi noktada keser?
a) (0, 0)   b) (-3, 0)   c) (3, 0)   d) (0, 6)   e) (6, 0)
Cevap: b) (-3, 0)
Çözüm: Grafiğin x eksenini kestiği noktada \( f(x) = 0 \) olur. \( \sqrt{2x + 6} = 0 \) denklemini çözelim. Her iki tarafın karesi alınırsa \( 2x + 6 = 0 \) olur. Buradan \( x = -3 \) bulunur. Kesim noktası (-3, 0)'dır.

Soru 4: \( f(x) = \sqrt{x - k} \) fonksiyonunun görüntü kümesi \( [0, \infty) \) ise ve grafiği y eksenini (0, 2) noktasında kesiyorsa k değeri kaçtır?
a) -4   b) -2   c) 0   d) 2   e) 4
Cevap: a) -4
Çözüm: Grafik y eksenini kestiğinde x=0'dır. \( f(0) = \sqrt{0 - k} = 2 \). Eşitliğin her iki tarafının karesi alınırsa \( -k = 4 \) ve dolayısıyla \( k = -4 \) bulunur.