10. Sınıf Trigonometrik Özdeşlikler Nelerdir?

Question

Trigonometrik özdeşlikleri formüller halinde ezberlemekte zorlanıyorum. Sin²x + cos²x = 1 gibi temel özdeşlikleri biliyorum ama diğerlerini ve bu formüllerin nereden geldiğini tam anlayamadım. Soru çözerken hangi özdeşliği nerede kullanacağımı karıştırıyorum.

Answer 1

Trigonometrik Özdeşlikler

Trigonometrik özdeşlikler, trigonometrik fonksiyonlar arasındaki her zaman doğru olan bağıntılardır. Bu özdeşlikleri kullanarak karmaşık ifadeleri sadeleştirebilir, denklemleri çözebilir ve ispatlar yapabiliriz.

Temel Özdeşlikler (Pisagor Özdeşlikleri)

Birim çember ve Pisagor Teoremi'nden elde edilen en temel özdeşliklerdir.

• Sinüs ve Kosinüs: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \)
• Tanjan ve Sekant: \( 1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha \) (\(\sec\alpha = \frac{1}{\cos\alpha}\))
• Kotanjant ve Kosekant: \( 1 + \cot^2\alpha = \csc^2\alpha \) (\(\csc\alpha = \frac{1}{\sin\alpha}\))

Negatif Açı Özdeşlikleri

Bir açının negatifinin trigonometrik değerlerini bulmamızı sağlar.

• \( \sin(-\alpha) = -\sin\alpha \)
• \( \cos(-\alpha) = \cos\alpha \)
• \( \tan(-\alpha) = -\tan\alpha \)
• \( \cot(-\alpha) = -\cot\alpha \)

Tümler Açı Özdeşlikleri

Toplamları 90° (veya \( \frac{\pi}{2} \) radyan) olan iki açıya tümler açılar denir (\( \alpha + \beta = 90° \)). Bir açının sinüsü, diğer tümler açısının kosinüsüne eşittir.

• \( \sin(90° - \alpha) = \cos\alpha \)
• \( \cos(90° - \alpha) = \sin\alpha \)
• \( \tan(90° - \alpha) = \cot\alpha \)
• \( \cot(90° - \alpha) = \tan\alpha \)

Bölüm Özdeşlikleri

Tanjan ve kotanjant fonksiyonlarının sinüs ve kosinüs cinsinden ifade edilmesidir.

• \( \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \)
• \( \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{1}{\tan\alpha} \)

Toplam-Fark Formülleri

İki açının toplamının veya farkının trigonometrik değerlerini, bu açıların değerleri cinsinden bulmamızı sağlar.

• Toplam Formülleri:
  • \( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta \)
  • \( \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta - \sin\alpha \cdot \sin\beta \)
  • \( \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \cdot \tan\beta} \)
• Fark Formülleri:
  • \( \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta - \cos\alpha \cdot \sin\beta \)
  • \( \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta + \sin\alpha \cdot \sin\beta \)
  • \( \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \cdot \tan\beta} \)

Yarım Açı Formülleri

Bir açının yarısının trigonometrik değerlerini bulmak için kullanılır.

• \( \sin(\frac{\alpha}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} \)
• \( \cos(\frac{\alpha}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}} \)
• \( \tan(\frac{\alpha}{2}) = \pm\sqrt{\frac{1 - \

Answer 2

10. Sınıf Trigonometrik Özdeşlikler Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC dik üçgeninde, dar açılardan birinin sinüs değeri 3/5'tir. Buna göre, bu açının tanjant değeri aşağıdakilerden hangisidir?
a) 3/4   b) 4/3   c) 4/5   d) 5/4   e) 3/2
Cevap: a) 3/4
Çözüm: sinθ = 3/5 ise karşı kenar 3k, hipotenüs 5k olur. Komşu kenar Pisagor bağıntısından 4k bulunur. tanθ = karşı/komşu = 3k/4k = 3/4'tür.

Soru 2: \( \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} = 3 \) olduğuna göre, tanx değeri kaçtır?
a) 1   b) 2   c) 3   d) 4   e) 5
Cevap: b) 2
Çözüm: İçler dışlar çarpımı yapılır: sinx + cosx = 3(sinx - cosx) → sinx + cosx = 3sinx - 3cosx → 4cosx = 2sinx → sinx/cosx = 2 → tanx = 2.

Soru 3: \( \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \) olduğuna göre, cos2α değeri kaçtır?
a) 1/2   b) 1/4   c) -1/2   d) -1/4   e) 2
Cevap: a) 1/2
Çözüm: cos2α = cos²α - sin²α trigonometrik özdeşliği kullanılır. Verilen ifade - (cos²α - sin²α) = 1/2 şeklinde yazılabilir. Buradan -cos2α = 1/2 → cos2α = -1/2 olur. Ancak dikkat: sin²α - cos²α = - (cos²α - sin²α) = -cos2α'dır. Verilen eşitlik: -cos2α = 1/2 → cos2α = -1/2. Fakat seçeneklerde -1/2 de bulunmaktadır (c seçeneği). Sorunun orijinalinde verilen ifade sin²α - cos²α = 1/2 ise bu -cos2α'ya eşittir. Yani -cos2α = 1/2 → cos2α = -1/2 olur. Ancak seçenekler kontrol edildiğinde c) -1/2 doğru cevaptır. Soru metninde ve çözümde tutarlılık sağlanmalıdır. Düzeltme: Verilen ifade sin²α - cos²α = 1/2 ise bu -cos2α = 1/2 anlamına gelir, dolayısıyla cos2α = -1/2 olur. Cevap c) -1/2'dir.