📊 Olasılık Hesaplama Formülü ve Örnekleri
Hedef: Bu ders notunda, temel olasılık hesaplama formülünü (Klasik Olasılık) öğrenecek, formülün bileşenlerini tanıyacak ve farklı senaryolarda nasıl uygulandığını çözümlü örneklerle göreceksiniz.
🎯 Temel Olasılık Formülü (Klasik Olasılık)
Bir deneyde, tüm çıktıların eşit olasılıklı olduğu durumlarda kullanılan temel formül şudur:
P(A) = \( \frac{n(A)}{n(S)} \) = \( \frac{\text{İstenilen Olayın Çıktı Sayısı}}{\text{Tüm Olası Çıktıların Sayısı}} \)
Burada:
- P(A): A olayının gerçekleşme olasılığı.
- n(A): A olayının eleman sayısı (istenen durumlar).
- n(S): Örnek uzayın eleman sayısı (tüm mümkün durumlar).
⚠️ Önemli Kural: Olasılık değeri her zaman 0 ile 1 arasındadır (0 ≤ P(A) ≤ 1). Sonuç yüzde veya oran olarak da ifade edilebilir.
🔢 Formül Bileşenlerini Anlama
1. Örnek Uzay (S)
Bir deneyin olabilecek tüm sonuçlarının kümesidir.
- 🎲 Örnek: Bir zar atıldığında; S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ve n(S) = 6
- 🪙 Örnek: Bir madeni para atıldığında; S = {Yazı, Tura} ve n(S) = 2
2. Olay (A)
Örnek uzayın, ilgilendiğimiz alt kümesidir.
- 🎲 Örnek (Zar): "Çift sayı gelmesi" olayı A = {2, 4, 6} ve n(A) = 3
- 🪙 Örnek (Para): "Yazı gelmesi" olayı A = {Yazı} ve n(A) = 1
📝 Çözümlü Örnekler
Örnek 1: Zar Atma 🎲
Problem: Hilesiz bir zar atıldığında, üst yüze gelen sayının 4'ten büyük olma olasılığı nedir?
Çözüm:
- Örnek Uzay (S): {1, 2, 3, 4, 5, 6} → n(S) = 6
- İstenen Olay (A): "4'ten büyük sayı" → A = {5, 6} → n(A) = 2
- Olasılık: P(A) = \( \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
Cevap: \( \frac{1}{3} \) veya ≈ %33.33
Örnek 2: Torba ve Toplar 🎱
Problem: İçinde 3 kırmızı, 5 mavi ve 2 yeşil top bulunan bir torbadan rastgele bir top çekiliyor. Çekilen topun mavi olma olasılığı kaçtır?
Çözüm:
- Toplam Top Sayısı [n(S)]: 3 + 5 + 2 = 10
- Mavi Top Sayısı [n(A)]: 5
- Olasılık: P(Mavi) = \( \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \)
Cevap: \( \frac{1}{2} \) veya %50
Örnek 3: Yazı-Tura ve Koşullu Durum 🪙
Problem: İki madeni para aynı anda atılıyor. En az birinin tura gelme olasılığı nedir?
Çözüm:
- Örnek Uzay (S): {YY, YT, TY, TT} → n(S) = 4
- İstenen Olay (A): "En az bir tura" → A = {YT, TY, TT} → n(A) = 3
- Olasılık: P(A) = \( \frac{3}{4} \)
Cevap: \( \frac{3}{4} \) veya %75
💡 Pratik İpuçları ve Uyarılar
- ✅ Her zaman örnek uzayı ve istenen olayı net bir şekilde tanımlayın.
- ✅ Tüm çıktıların eşit şansa sahip olduğundan emin olun (hilesiz zar, aynı torba gibi).
- ❌ Olasılığı hesaplarken pay ve paydayı karıştırmayın. Payda HER ZAMAN tüm mümkün durumlardır.
- 🔁 Olasılık, bir olayın kesinlik derecesini ölçer, kesin bir tahmin değildir.
📈 Sonuç
Klasik olasılık formülü \( P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} \), günlük hayattaki basit şans oyunlarından karmaşık istatistiksel analizlere kadar pek çok alanın temelini oluşturur. Bu formülü doğru uygulayabilmek için olayları küme diliyle ifade etme ve sayma becerisi kritik öneme sahiptir. Bir sonraki adım, "bağımlı ve bağımsız olaylar" ile "koşullu olasılık" kavramlarını öğrenmek olacaktır.
