Soru:
Bir \( \alpha \) açısı için \( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \) ve \( \alpha \) dar açı ise, \( \cos(\alpha) \), \( \tan(\alpha) \) ve \( \cot(\alpha) \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu soruda temel trigonometrik özdeşlikleri kullanacağız. Verilen bir sinüs değerinden diğer oranları bulmak için Pisagor özdeşliğini kullanırız.
- ➡️ 1. Adım: \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \) özdeşliğini kullanarak \( \cos(\alpha) \) değerini bulalım.
\( \left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2(\alpha) = 1 \)
\( \frac{9}{25} + \cos^2(\alpha) = 1 \)
\( \cos^2(\alpha) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \)
\( \cos(\alpha) = \frac{4}{5} \) (Açı dar açı olduğu için kosinüs pozitiftir.)
- ➡️ 2. Adım: \( \tan(\alpha) \) değerini bulalım. Tanjant, sinüsün kosinüse oranıdır.
\( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4} \)
- ➡️ 3. Adım: \( \cot(\alpha) \) değerini bulalım. Kotanjant, tanjantın çarpmaya göre tersidir.
\( \cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3} \)
✅ Sonuç: \( \cos(\alpha) = \frac{4}{5} \), \( \tan(\alpha) = \frac{3}{4} \), \( \cot(\alpha) = \frac{4}{3} \).
