Soru:
\( \tan(x) + \cot(x) \) ifadesini \( \csc(x) \) (kosekant) cinsinden yazınız. (İpucu: \( \csc^2(x) = 1 + \cot^2(x) \))
Çözüm:
💡 Bu soruda, tanjant ve kotanjantı sinüs ve kosinüs cinsinden yazıp tek bir trigonometrik fonksiyona indirgemeyi hedefliyoruz.
- ➡️ 1. Adım: \( \tan(x) \) ve \( \cot(x) \)'i sinüs ve kosinüs cinsinden yazalım.
\( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) ve \( \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \)
- ➡️ 2. Adım: Bu ifadeleri toplayalım.
\( \tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \)
- ➡️ 3. Adım: Paydaları eşitleyelim. Ortak payda \( \sin(x)\cos(x) \) olur.
\( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} \)
- ➡️ 4. Adım: Paydaki ifade \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) özdeşliğine eşittir.
\( \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \)
- ➡️ 5. Adım: İfadeyi kosekant cinsinden yazmak için payı ve paydayı \( \sin(x) \) ile bölelim ve verilen ipucunu kullanalım.
\( \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{\frac{1}{\sin(x)}}{\cos(x)} = \frac{\csc(x)}{\cos(x)} \)
Bu henüz istenen forma ulaşmadı. İpucundaki özdeşliği kullanmak için farklı bir yol izleyelim. \( \csc^2(x) = 1 + \cot^2(x) \) özdeşliğini biliyoruz. Amacımız ifadeyi sadece \( \csc(x) \) cinsinden yazmak. Bunun için \( \tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \) bulmuştuk. Pay ve paydayı \( \sin(x) \) ile çarparsak:
\( \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{\sin(x)}{\sin^2(x)\cos(x)} \) Bu da karmaşık. En temiz çözüm, ifadenin karesini alıp özdeşlikle ilişkilendirmektir.
\( (\tan(x) + \cot(x))^2 = \tan^2(x) + 2\tan(x)\cot(x) + \cot^2(x) \)
\( = \tan^2(x) + 2(1) + \cot^2(x) \) (Çünkü \( \tan(x)\cot(x) = 1 \))
\( = (\tan^2(x) + 1) + (1 + \cot^2(x)) \)
İpucundaki \( \csc^2(x) = 1 + \cot^2(x) \) ve \( \sec^2(x) = 1 + \tan^2(x) \) özdeşliklerini biliyoruz. Ancak biz sadece kosekant istiyoruz. \( 1 + \cot^2(x) = \csc^2(x) \) olduğundan, \( \tan^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1 - \cos^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 = \sec^2(x) - 1 \) yazabiliriz.
O halde:
\( (\tan(x) + \cot(x))^2 = (\sec^2(x) - 1) + 2 + (\csc^2(x) - 1) \)
\( = \sec^2(x) + \csc^2(x) \)
Bu da bizi kosekant ve sekant cinsinden bir ifadeye götürür. Sorunun istediği gibi sadece kosekant cinsinden yazmak için farklı bir başlangıç yapalım:
\( \tan(x) + \cot(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} \)
\( \cos(x) = \frac{1}{\sec(x)} \) ama bu da sekant getirir. En iyisi, \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) özdeşliğini kullanmaktır.
\( \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{2}{2\sin(x)\cos(x)} = \frac{2}{\sin(2x)} = 2\csc(2x) \)
Bu sonuç, ifadeyi çift açılı kosekant cinsinden verir. Soru orijinal kosekant cinsinden istiyor gibi görünse de, bu geçerli ve sade bir cevaptır. Verilen ipucu doğrudan kullanılarak şu şekilde de gösterilebilir: \( \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{\sin^2(x) + \cos^2(x)}{\sin(x)\cos(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) ki bu da başlangıç noktamızdı. Bu nedenle, ifadenin \( \csc(x) \) ve \( \sec(x) \) cinsinden yazılabileceği açıktır. Ancak sadece \( \csc(x) \) cinsinden yazmak için ek bir özdeşlik kullanmak gerekir ki bu da pratik değildir. Bu soru için en uygun sadeleştirme \( 2\csc(2x) \) veya \( \csc(x)\sec(x) \) olacaktır.
✅ Sonuç: \( \tan(x) + \cot(x) = \frac{1}{\sin(x)\cos(x)} = \csc(x)\sec(x) \) veya \( 2\csc(2x) \) olarak yazılabilir. Verilen ipucu (\( \csc^2(x) = 1 + \cot^2(x) \)) kullanılarak, ifadenin karesi alınıp \( \csc^2(x) \) ve \( \sec^2(x) \) cinsinden \( \sec^2(x) + \csc^2(x) \) şeklinde de ifade edilebilir.
