11. Sınıf Matematik Parabol Tepe Noktası ve Grafik Çizimi

Question

Parabolün tepe noktasını bulurken formülü karıştırıyorum, bazen x'i doğru bulsam da y'yi bulmakta zorlanıyorum. Tepe noktasından geçen simetri eksenini anlıyorum ama parabolün kollarının yönünü ve grafiği tam olarak noktalarıyla beraber çizmekte sıkıntı yaşıyorum. Bu konuyu daha basit bir şekilde nasıl kavrayabilirim?

Answer 1

📚 11. Sınıf Matematik: Parabolün Tepe Noktası ve Grafik Çizimi

Merhaba! Bu ders notumuzda, ikinci dereceden fonksiyonların grafiği olan parabolün en önemli özelliklerinden biri olan tepe noktasını (r, k) nasıl bulacağımızı ve adım adım grafiğini nasıl çizeceğimizi öğreneceğiz. Konuyu iyi kavramak, denklem çözümü ve eşitsizlikler için de çok faydalı olacaktır. Hadi başlayalım!

🎯 Parabol ve Tepe Noktası (Vertex) Nedir?

İkinci dereceden bir fonksiyonun genel formülü: \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindedir. Bu fonksiyonun grafiğine parabol denir.

Tepe Noktası (T(r, k)), parabolün en alt (a>0 ise) veya en üst (a<0 ise) noktasıdır. Simetri ekseni bu noktadan geçer ve parabol bu noktaya göre simetriktir.

🔢 Tepe Noktası Nasıl Bulunur?

Tepe noktasının koordinatlarını bulmak için iki yöntem kullanabiliriz:

1. Formül Yöntemi ✏️

\( f(x) = ax^2 + bx + c \) fonksiyonu için tepe noktası \( T(r, k) \) aşağıdaki formüllerle bulunur:

• \( r = -\frac{b}{2a} \)
• \( k = f(r) = \frac{4ac - b^2}{4a} \)

Örnek: \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) parabolünün tepe noktasını bulalım.
a=1, b=-4, c=3
\( r = -\frac{(-4)}{2*1} = \frac{4}{2} = 2 \)
\( k = f(2) = (2)^2 - 4*(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \)
Tepe Noktası T(2, -1)

2. Tam Kareye Tamamlama Yöntemi 📐

Bu yöntemde fonksiyonu \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) formuna getiririz. Buradaki (r, k) doğrudan tepe noktasıdır.

Örnek: Aynı fonksiyonu tam kareye tamamlayalım:
\( f(x) = x^2 - 4x +3 \)
\( f(x) = (x^2 - 4x +4) -4 +3 \)
\( f(x) = (x-2)^2 -1 \)
Görüldüğü gibi r=2, k=-1 ve tepe noktası yine T(2, -1).

📈 Parabol Grafiği Çizimi: 5 Adım

Grafiği hatasız çizmek için şu adımları takip edelim:

1. 🎯 Tepe Noktasını Bul ve İşaretle: T(r, k) noktasını koordinat düzleminde işaretle.
2. 📏 Simetri Eksenini Çiz: x = r doğrusunu (dikey bir çizgi) hafifçe belirt.
3. ✂️ Parabolün Kollarını Belirle:
   • Eğer a > 0 ise (x²'nin katsayısı pozitif), parabolün kolları yukarı doğrudur. (😊 Gülen yüz gibi)
   • Eğer a < 0 ise (x²'nin katsayısı negatif), parabolün kolları aşağı doğrudur. (😞 Üzgün yüz gibi)
4. 📍 Ek Noktalar Belirle: Tepe noktasının sağına ve soluna simetrik olacak şekilde en az ikişer nokta daha bul. (Örn: x = r+1 ve x = r-1 için y değerlerini hesapla).
5. ✍️ Noktaları Birleştir: Tüm noktaları, simetri eksenine göre simetrik olacak şekilde bir eğriyle birleştir.

🖼️ Örnek Grafik Çizimi (f(x) = x² - 4x + 3)

• Tepe Noktası: T(2, -1)
• Simetri Ekseni: x = 2 doğrusu
• a=1 > 0 olduğundan kollar yukarı doğru.
• Ek Noktalar:
  • x=1 için: f(1)= 1-4+3=0 → (1,0)
  • x=3 için: f(3)= 9-12+3=0 → (3,0) (Simetrik!)
  • x=0 için: f(0)=3 → (0,3) ve simetriğinden x=4 için (4,3)

Bu (2, -1), (1,0), (3,0), (0,3), (4,3) noktalarını işaretleyip yukarı doğru bir "U" şeklinde birleştirdiğimizde parabol grafiğimiz tamamlanır.

💡 Hatırlatmalar ve Püf Noktaları

• Tepe noktası, parabolün minimum (a>0) veya maksimum (a<0) noktasıdır.
• \( \Delta \) (diskriminant) sıfırdan büyükse parabol x-eksenini iki noktada keser. Bu noktalar grafik çizerken bulunması gereken önemli noktalardır.
• Grafik çizerken noktaları birleştirirken keskin köşeler yapmamaya, yumuşak bir eğri çizmeye dikkat edin.
• Formülü unutursanız, türev alıp sıfıra eşitleyerek de tepe noktasının x değerini (\( f'(x)=0 \)) bulabilirsiniz.

Bu ders notu ile parabolün tepe noktasını bulmayı ve grafiğini çizmeyi öğrendin. Konuyu pekiştirmek için bol bol farklı örnekler üzerinde pratik yapmanı tavsiye ederim. Bir sonraki konuda görüşmek üzere! 👨‍🏫