12. sınıf diziler soruları ve çözümleri konu anlatımı

Question

Diziler konusunu anlamakta zorlanıyorum. Formüller çok karmaşık geliyor ve soruları çözerken nereden başlayacağımı bilemiyorum.

Answer 1

📚 Diziler: 12. Sınıf Matematik Dünyasına Giriş

Diziler, matematikte belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğudur. Her bir sayıya dizinin terimi denir. Diziler, günlük hayatta karşılaştığımız birçok olayı modellemek için kullanılabilir. Örneğin, bir bitkinin büyüme hızı, bir bankadaki faiz oranları veya bir arabanın hızı bir dizi ile ifade edilebilir.

🔢 Dizilerin Gösterimi

Diziler genellikle (a_n) şeklinde gösterilir. Burada a_n, dizinin genel terimidir ve n, terimin sırasını belirtir. Örneğin, a₁ dizinin ilk terimi, a₂ dizinin ikinci terimidir ve bu böyle devam eder.

Diziler iki şekilde tanımlanabilir:

• 🍎 Genel Terim ile Tanımlama: Dizinin her terimini bulmak için kullanılan bir formül ile tanımlanır. Örneğin, a_n = 2n + 1 dizisinin genel terimidir. Bu dizinin ilk terimi a₁ = 2(1) + 1 = 3, ikinci terimi a₂ = 2(2) + 1 = 5'tir.
• 🍏 Özyinelemeli Tanımlama: Bir terimin kendinden önceki terimler cinsinden ifade edilmesiyle tanımlanır. Örneğin, a₁ = 1 ve a_n+1 = a_n + 2 şeklinde tanımlanan bir dizi özyinelemeli olarak tanımlanmıştır. Bu dizinin ilk terimi 1'dir ve sonraki her terim, bir önceki terime 2 eklenerek bulunur.

➕ Aritmetik Diziler

Aritmetik diziler, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu dizilerdir. Bu sabit farka ortak fark denir ve genellikle d ile gösterilir.

Bir aritmetik dizinin genel terimi şu şekilde ifade edilir:

a_n = a₁ + (n - 1)d

Burada:

• 🍇 a_n: n'inci terim
• 🍉 a₁: İlk terim
• 🍋 n: Terim sayısı
• 🍊 d: Ortak fark

Örnek: İlk terimi 3 ve ortak farkı 2 olan bir aritmetik dizinin 5. terimini bulun.

Çözüm:

a₅ = a₁ + (5 - 1)d = 3 + (4)2 = 3 + 8 = 11

Dolayısıyla, dizinin 5. terimi 11'dir.

✖️ Geometrik Diziler

Geometrik diziler, ardışık terimleri arasındaki oranın sabit olduğu dizilerdir. Bu sabit orana ortak çarpan denir ve genellikle r ile gösterilir.

Bir geometrik dizinin genel terimi şu şekilde ifade edilir:

a_n = a₁ * r^{(n - 1)}

Burada:

• 🥝 a_n: n'inci terim
• 🥑 a₁: İlk terim
• 🍑 n: Terim sayısı
• 🍒 r: Ortak çarpan

Örnek: İlk terimi 2 ve ortak çarpanı 3 olan bir geometrik dizinin 4. terimini bulun.

Çözüm:

a₄ = a₁ * r^{(4 - 1)} = 2 * 3³ = 2 * 27 = 54

Dolayısıyla, dizinin 4. terimi 54'tür.

❓ Örnek Sorular ve Çözümleri

Soru 1: a_n = 3n - 1 dizisinin ilk 5 terimini bulun.

Çözüm:

• 🍎 a₁ = 3(1) - 1 = 2
• 🍏 a₂ = 3(2) - 1 = 5
• 🍇 a₃ = 3(3) - 1 = 8
• 🍉 a₄ = 3(4) - 1 = 11
• 🍋 a₅ = 3(5) - 1 = 14

Dizinin ilk 5 terimi: 2, 5, 8, 11, 14

Soru 2: 2, 4, 8, 16, ... şeklinde devam eden dizinin genel terimini bulun.

Çözüm:

Bu bir geometrik dizidir. İlk terim a₁ = 2 ve ortak çarpan r = 2'dir. Dolayısıyla, genel terim:

a_n = 2 * 2^{(n - 1)} = 2ⁿ

Soru 3: İlk terimi 5 ve ortak farkı -2 olan bir aritmetik dizinin 10. terimini bulun.

Çözüm:

a₁₀ = a₁ + (10 - 1)d = 5 + (9)(-2) = 5 - 18 = -13

Dolayısıyla, dizinin 10. terimi -13'tür.