2. dereceden denklemler, içinde bilinmeyenin (genellikle x) karesinin bulunduğu denklemlerdir. Genel formu şöyledir:
$ax^2 + bx + c = 0$
Burada a, b ve c sabit sayılardır ve a sıfırdan farklı olmalıdır. Çünkü a sıfır olursa, denklem 1. dereceden bir denkleme dönüşür.
2. dereceden denklemleri çözmek için birkaç farklı yöntem vardır. En yaygın kullanılan yöntemler şunlardır:
Bu yöntem, denklemi iki tane 1. dereceden denklemin çarpımı şeklinde yazmaya dayanır. Eğer denklem kolayca çarpanlarına ayrılabiliyorsa, bu yöntem oldukça pratiktir.
Örnek:
$x^2 - 5x + 6 = 0$ denklemini çözelim.
Bu denklemi $(x - 2)(x - 3) = 0$ şeklinde çarpanlarına ayırabiliriz.
Buradan da $x = 2$ veya $x = 3$ olur.
Bu yöntem, denklemi bir ifadenin karesi şeklinde yazmaya dayanır. Her zaman işe yarar, ancak bazı durumlarda çarpanlara ayırma yöntemine göre daha uzun sürebilir.
Örnek:
$x^2 + 4x - 5 = 0$ denklemini tam kareye tamamlayarak çözelim.
Öncelikle, sabiti karşıya atalım: $x^2 + 4x = 5$
Şimdi, sol tarafa $(4/2)^2 = 4$ ekleyip çıkaralım: $x^2 + 4x + 4 - 4 = 5$
Sol tarafı $(x + 2)^2$ şeklinde yazabiliriz: $(x + 2)^2 - 4 = 5$
$(x + 2)^2 = 9$ olur.
Her iki tarafın karekökünü alırsak: $x + 2 = \pm 3$
Buradan da $x = 1$ veya $x = -5$ olur.
Bu yöntem, 2. dereceden denklemlerin genel çözüm formülünü kullanır. Her zaman işe yarar ve en güvenilir yöntemdir.
Diskriminant, $\Delta = b^2 - 4ac$ şeklinde hesaplanır.
Kökler ise şu formülle bulunur:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
Örnek:
$2x^2 - 3x - 2 = 0$ denklemini diskriminant yöntemiyle çözelim.
$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$
$\Delta > 0$ olduğu için denklemin iki farklı reel kökü vardır.
$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$
Buradan da $x_1 = 2$ ve $x_2 = -\frac{1}{2}$ olur.
