🎯 2026 TYT Yeni Nesil Çemberde Koordinat Geometrisi: Çemberin Yarıçapı Nasıl Hesaplanır?
Çemberin yarıçapını hesaplamak, koordinat geometrisinde önemli bir beceridir. Özellikle yeni nesil sorularda, bu bilgi farklı kavramlarla birleştirilerek karşımıza çıkabilir. İşte çemberin yarıçapını bulmanın farklı yolları:
📍 Merkezi ve Üzerindeki Bir Noktası Bilinen Çemberin Yarıçapı
Eğer çemberin merkezi $M(a, b)$ ve üzerindeki bir nokta $A(x, y)$ biliniyorsa, yarıçapı iki nokta arasındaki uzaklık formülü ile kolayca bulabiliriz.
* 📏 İki nokta arasındaki uzaklık formülü: $r = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}$
Örnek: Merkezi $M(2, 3)$ olan ve $A(5, 7)$ noktasından geçen çemberin yarıçapını bulalım.
$r = \sqrt{(5 - 2)^2 + (7 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
📍 Denklemi Verilen Çemberin Yarıçapı
Çemberin denklemi $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ şeklinde verildiğinde, yarıçap doğrudan denklemden okunabilir.
* 📝 Çemberin genel denklemi: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
* Yarıçap: $r = \sqrt{r^2}$
Örnek: $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$ çemberinin yarıçapını bulalım.
$r^2 = 9$ olduğundan, $r = \sqrt{9} = 3$ olur.
📍 Genel Denklemden Yarıçap Bulma
Çemberin genel denklemi $x^2 + y^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0$ şeklinde ise, yarıçapı bulmak için aşağıdaki formülü kullanırız:
* 📐 Genel denklem: $x^2 + y^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0$
* Yarıçap formülü: $r = \sqrt{D^2 + E^2 - F}$
Önemli Not: Bu formülü kullanabilmek için $D^2 + E^2 - F > 0$ olmalıdır. Aksi takdirde, bu bir çember belirtmez.
Örnek: $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ çemberinin yarıçapını bulalım.
$2D = -4 \Rightarrow D = -2$
$2E = 6 \Rightarrow E = 3$
$F = -12$
$r = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 - (-12)} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5$
📍 Teğet Çemberlerde Yarıçap Hesabı
Eğer çember, koordinat eksenlerine veya birbirine teğet ise, bu durum yarıçapı bulmamıza yardımcı olabilir. Örneğin, bir çember hem x eksenine hem de y eksenine teğet ise ve merkezi birinci bölgede ise, merkezi $(r, r)$ şeklinde olur.
* 📍 Eksenlere teğet çember: Merkez $(r, r)$ veya $(-r, r)$ veya $(-r, -r)$ veya $(r, -r)$ şeklinde olabilir.
Örnek: Merkezi $(r, r)$ olan ve x eksenine teğet olan bir çemberin denklemi $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ şeklinde olur.
📍 Yeni Nesil Sorulara Hazırlık
Yeni nesil sorular genellikle yukarıdaki bilgileri birleştirerek ve problem çözme becerilerini kullanarak çözülür. Örneğin, bir soruda çemberin üzerindeki bir nokta ve teğet doğrusu verilebilir ve yarıçapı bulmanız istenebilir. Bu tür soruları çözerken, verilen bilgileri dikkatlice analiz etmek ve uygun formülleri kullanmak önemlidir.
Unutmayın, pratik yapmak ve farklı soru tiplerini çözmek, bu konuyu daha iyi anlamanıza ve sınavda başarılı olmanıza yardımcı olacaktır.
