📐 2026 TYT: Kosinüs Teoremi ve Açıortay İlişkisi
Kosinüs teoremi ve açıortay teoremi, geometri sorularında sıkça karşımıza çıkan ve birbirleriyle bağlantılı olabilen önemli konulardır. Özellikle üçgenlerdeki açı ve kenar ilişkilerini anlamamıza yardımcı olurlar. Şimdi bu iki kavramı ve aralarındaki ilişkiyi inceleyelim.
🤔 Kosinüs Teoremi Nedir?
Kosinüs teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ile bir açısının kosinüsü arasındaki ilişkiyi ifade eder. Herhangi bir $\triangle ABC$ üçgeninde,
* $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot cos(A)$
* $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot cos(B)$
* $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot cos(C)$
şeklinde ifade edilir. Burada $a$, $b$, ve $c$ üçgenin kenar uzunluklarını, $A$, $B$, ve $C$ ise bu kenarların karşısındaki açıları temsil eder.
✂️ Açıortay Teoremi Nedir?
Açıortay teoremi, bir üçgenin bir açısının açıortayının, karşı kenarı böldüğü parçaların uzunlukları ile diğer kenarlar arasındaki ilişkiyi açıklar. $\triangle ABC$ üçgeninde, $A$ açısının açıortayı $BC$ kenarını $D$ noktasında kesiyorsa,
$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|}$
eşitliği geçerlidir. Yani, açıortayın böldüğü kenar parçalarının oranları, diğer kenarların oranına eşittir.
🤝 Açıortay Sorularında Kosinüsün Kullanımı
Açıortay sorularında kosinüs teoremi, genellikle bir kenar uzunluğunu veya bir açının kosinüsünü bulmak için kullanılır. İşte tipik bir senaryo:
1. Bir üçgende açıortay verilmişse, açıortay teoremini kullanarak kenar parçalarının oranlarını bulabiliriz.
2. Daha sonra, kosinüs teoremini kullanarak bilinmeyen bir açıyı veya kenarı hesaplayabiliriz.
Örnek bir soru üzerinde inceleyelim:
$\triangle ABC$ üçgeninde $|AB| = 6$, $|AC| = 8$, ve $A$ açısının açıortayı $BC$ kenarını $D$ noktasında kesiyor. $|BD| = 3$ ise, $cos(\angle BAC)$ değerini bulunuz.
* 🍎 Öncelikle açıortay teoremini uygulayalım: $\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} \Rightarrow \frac{3}{|DC|} = \frac{6}{8} \Rightarrow |DC| = 4$.
* 🍎 Şimdi $|BC| = |BD| + |DC| = 3 + 4 = 7$.
* 🍎 Kosinüs teoremini kullanarak $cos(\angle BAC)$ değerini bulalım:
$7^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot cos(\angle BAC)$
$49 = 36 + 64 - 96 \cdot cos(\angle BAC)$
$96 \cdot cos(\angle BAC) = 51$
$cos(\angle BAC) = \frac{51}{96} = \frac{17}{32}$
Gördüğünüz gibi, açıortay teoremi ve kosinüs teoremini birleştirerek soruyu çözebildik.
📝 Özet
* 🍎
Kosinüs Teoremi: Üçgenin kenarları ve bir açısının kosinüsü arasındaki ilişkiyi tanımlar.
* 🍎
Açıortay Teoremi: Açıortayın karşı kenarı böldüğü parçaların oranını verir.
* 🍎 Açıortay sorularında, açıortay teoremi ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulduktan sonra, kosinüs teoremi ile bilinmeyen açıları veya kenarları hesaplayabiliriz.
Umarım bu açıklamalar, kosinüs teoremi ve açıortay teoremi arasındaki ilişkiyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Başarılar!
