9. Sınıf Doğrusal Fonksiyonun Sıfırını Algoritmik Yaklaşımla Bulma Nedir?

Question

Doğrusal fonksiyonun sıfırını bulmak, fonksiyonun grafiğinin x eksenini kestiği noktayı bulmak demek. Algoritmik yaklaşım ise bu noktayı adım adım hesaplama yöntemleriyle (örneğin ikiye bölme veya Newton-Raphson) bulmak anlamına geliyor. Ben bu yöntemlerin nasıl çalıştığını tam anlamadım, örneklerle açıklayabilir misiniz?

Answer 1

Doğrusal Fonksiyonun Sıfırını Bulma

Bir doğrusal fonksiyon, genel olarak \( f(x) = ax + b \) şeklinde ifade edilir. Bu fonksiyonun sıfırı, fonksiyonun \( f(x) = 0 \) değerini sağlayan \( x \) değeridir. Yani:

\[ ax + b = 0 \]

Bu denklemi çözerek sıfır noktasını bulabiliriz:

\[ x = -\frac{b}{a} \]

Algoritmik Yaklaşımla Sıfır Bulma

Matematiksel olarak çözüm mümkün olsa da, bazı durumlarda algoritmik yöntemler kullanarak sıfır noktasını yaklaşık olarak bulmak gerekebilir. Bunun için aşağıdaki adımlar izlenebilir:

• 1. Adım: Fonksiyonun tanımını belirleyin (\( f(x) = ax + b \)).
• 2. Adım: Başlangıç değerleri seçin (örneğin, \( x_1 \) ve \( x_2 \) gibi iki farklı \( x \) değeri).
• 3. Adım: Fonksiyonun bu noktalardaki değerlerini hesaplayın (\( f(x_1) \) ve \( f(x_2) \)).
• 4. Adım: İşaret kontrolü yapın. Eğer \( f(x_1) \) ve \( f(x_2) \) zıt işaretliyse, sıfır bu aralıktadır.
• 5. Adım: Aralığı daraltarak (örneğin, orta nokta yöntemiyle) sıfıra yaklaşın.
• 6. Adım: İstenilen hassasiyete ulaşana kadar işlemi tekrarlayın.

Örnek Uygulama

\( f(x) = 2x - 4 \) fonksiyonunun sıfırını algoritmik olarak bulalım:

• 1. Adım: \( x_1 = 0 \) seçersek, \( f(0) = -4 \) (negatif).
• 2. Adım: \( x_2 = 3 \) seçersek, \( f(3) = 2 \) (pozitif).
• 3. Adım: Sıfır, \( [0, 3] \) aralığındadır.
• 4. Adım: Orta nokta \( x = 1.5 \) alınırsa, \( f(1.5) = -1 \) (negatif). Yeni aralık \( [1.5, 3] \).
• 5. Adım: Bu şekilde devam edilirse, sıfırın \( x = 2 \) olduğu bulunur.

Not: Doğrusal fonksiyonlarda bu yöntem gereksiz görünebilir, ancak daha karmaşık fonksiyonlar için algoritmik yaklaşımlar önemlidir.

Answer 2

9. Sınıf Doğrusal Fonksiyonun Sıfırını Algoritmik Yaklaşımla Bulma Çözümlü Test Soruları

Soru 1: \( f(x) = 2x - 6 \) doğrusal fonksiyonunun sıfırını bulmak için aşağıdaki algoritma adımları uygulanıyor:
1. Fonksiyonu \( 0 \)'a eşitle: \( 2x - 6 = 0 \)
2. Denklemi çöz: \( 2x = 6 \) → \( x = 3 \)
Bu algoritmayı kullanarak \( g(x) = -3x + 12 \) fonksiyonunun sıfırı kaçtır?
a) 4   b) -4   c) 3   d) -3   e) 12
Cevap: a) 4
Çözüm: \( -3x + 12 = 0 \) → \( -3x = -12 \) → \( x = 4 \). Algoritma adımları doğru uygulandığında sıfır noktası 4 olarak bulunur.

Soru 2: Bir doğrusal fonksiyonun sıfırını bulmak için "iki nokta yöntemi" kullanılıyor. Fonksiyon \( (1, 5) \) ve \( (3, 1) \) noktalarından geçiyor. Buna göre bu fonksiyonun sıfırı kaçtır?
a) 2   b) 3.5   c) 4   d) 5   e) 6
Cevap: c) 4
Çözüm: Önce eğim \( m = \frac{1-5}{3-1} = -2 \) bulunur. Denklem \( y = -2x + 7 \) olur. Sıfır için \( 0 = -2x + 7 \) → \( x = 3.5 \). Ancak seçeneklerde 3.5 yok, işlem hatası yapılmış. Doğru çözüm: \( y = -2x + 7 \) yerine \( y = -2x + 6 \) olmalı (ilk nokta kontrolü: \( 5 = -2(1) + 7 \) doğru değil). Doğru denklem \( y = -2x + 7 \) olup sıfır \( x = 3.5 \), ancak seçeneklerde olmadığı için soru hatalıdır. Alternatif çözüm: \( y = -2x + 6 \) (ilk nokta \( 5 = -2(1) + 6 \) yanlış). Soru revize edilmeli.

Soru 3: \( h(x) = \frac{1}{2}x + 3 \) fonksiyonunun sıfırını bulmak için aşağıdaki adımlardan hangisi yanlıştır?
a) \( \frac{1}{2}x + 3 = 0 \)   b) \( \frac{1}{2}x = -3 \)   c) \( x = -6 \)   d) \( x = 6 \)   e) Hiçbiri
Cevap: d) \( x = 6 \)
Çözüm: Doğru çözüm \( x = -6 \) olmalıdır. \( x = 6 \) işlem hatasıdır.

Soru 4: Bir algoritma, doğrusal fonksiyonun sıfırını bulmak için \( f(x) = mx + n \) denkleminde \( m \) ve \( n \) değerlerini kullanıyor. \( m = 0.5 \) ve \( n = -4 \) için sıfır noktası kaçtır?
a) -8   b) 8   c) 2   d) -2   e) 0.125
Cevap: b) 8
Çözüm: \( 0.5x - 4 = 0 \) → \( 0.5x = 4 \) → \( x = 8 \). Algoritma doğru sonucu verir.