📐 Üçgenlerde Kenarortay Nedir?
Üçgenin bir köşesinden karşı kenarın ortasına çizilen doğru parçasına kenarortay denir. Her üçgenin 3 tane kenarortayı vardır ve bu kenarortaylar üçgenin içinde bir noktada kesişirler. Bu kesişim noktasına ağırlık merkezi denir.
- 📏 Kenarortay: Bir kenarı iki eşit parçaya böler.
- ⚖️ Ağırlık Merkezi: Kenarortayların kesiştiği noktadır. Genellikle G harfi ile gösterilir.
📐 Kenarortay Uzunluğu Nasıl Bulunur?
Kenarortay uzunluğunu bulmak için çeşitli formüller bulunur. Bu formüller, üçgenin kenar uzunlukları arasındaki ilişkiyi kullanarak kenarortay uzunluğunu hesaplamamızı sağlar.
📏 Apollonius Teoremi
Apollonius teoremi, bir üçgenin kenar uzunlukları ve kenarortay uzunluğu arasındaki ilişkiyi ifade eder. Bu teorem sayesinde kenarortay uzunluğunu kolayca bulabiliriz.
Bir $ABC$ üçgeninde, $BC$ kenarına ait kenarortay $V_a$ olsun. Bu durumda Apollonius teoremi şöyledir:
$AB^2 + AC^2 = 2(AV_a^2 + BV^2)$
Yani:
$b^2 + c^2 = 2(V_a^2 + (a/2)^2)$
- 📝 Formülün Açıklaması: $b$ ve $c$ üçgenin diğer kenar uzunlukları, $a$ kenarının yarısı, $V_a$ ise a kenarına ait kenarortay uzunluğudur.
- 💡 İpucu: Bu formülü kullanarak, eğer üçgenin kenar uzunluklarını biliyorsak, kenarortay uzunluğunu hesaplayabiliriz.
📏 Kenarortay Formülü
Kenarortay uzunluğunu doğrudan hesaplamak için kullanabileceğimiz bir formül daha bulunmaktadır:
$V_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$
- 📝 Formülün Açıklaması: Bu formülde $V_a$, $a$ kenarına ait kenarortay uzunluğunu, $b$ ve $c$ ise üçgenin diğer kenar uzunluklarını temsil eder.
- 💡 İpucu: Bu formül, kenar uzunluklarını bildiğimiz durumlarda kenarortayı hızlıca hesaplamak için idealdir.
📐 Kenarortay ile İlgili İpuçları ve Püf Noktaları
- 🧐 Ağırlık Merkezi: Ağırlık merkezi, kenarortayı köşeye yakın olan tarafta 2 birim, kenara yakın olan tarafta 1 birim olacak şekilde böler. Yani, $AG = 2 \cdot GD$
- 📐 Özel Üçgenler: İkizkenar veya eşkenar üçgenlerde kenarortay aynı zamanda açıortay ve yüksekliktir. Bu durum, sorularda işimizi kolaylaştırabilir.
- ✍️ Çizim Yapmak: Geometri sorularında şekil çizmek her zaman önemlidir. Kenarortayları doğru bir şekilde çizerek soruyu daha iyi anlamanıza ve çözüme ulaşmanıza yardımcı olur.
📐 Örnek Soru Çözümü
Bir $ABC$ üçgeninde $|AB| = 6$ cm, $|AC| = 8$ cm ve $|BC| = 10$ cm'dir. $BC$ kenarına ait kenarortay uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Apollonius teoremini kullanalım:
$6^2 + 8^2 = 2(V_a^2 + 5^2)$
$36 + 64 = 2(V_a^2 + 25)$
$100 = 2V_a^2 + 50$
$50 = 2V_a^2$
$V_a^2 = 25$
$V_a = 5$ cm
Yani, $BC$ kenarına ait kenarortay uzunluğu 5 cm'dir.
