6. Sınıf Asal Çarpan Algoritması ve Çarpan Ağacı Nasıl Kullanılır?

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Özellikle asal çarpanlara ayırırken hangi sayılara böleceğimi karıştırıyorum. Çarpan ağacını çizerken de bazen dalları kaçırıyorum ve sonuca ulaşamıyorum.

Answer 1

📚 Asal Çarpanlar ve Çarpan Ağacı

Merhaba! Bu dersimizde bir sayıyı asal çarpanlarına nasıl ayırabileceğimizi ve bunun için çarpan ağacını nasıl kullanacağımızı öğreneceğiz. 🎯

🔍 Önce Bazı Temel Kavramları Hatırlayalım

• ✅ Çarpan: Bir sayıyı kalansız bölen sayılara o sayının çarpanları denir. Örneğin, 12'nin çarpanları 1, 2, 3, 4, 6 ve 12'dir.
• ✅ Asal Sayı: Kendisi ve 1'den başka hiçbir sayıya kalansız bölünemeyen, 1'den büyük sayılardır. (Örnek: 2, 3, 5, 7, 11, 13...)
• ✅ Asal Çarpan: Bir sayının çarpanlarından asal olanlarına o sayının asal çarpanları denir.

🌳 Çarpan Ağacı Nedir ve Nasıl Yapılır?

Çarpan ağacı, bir sayıyı en küçük asal çarpanlarına ayırmak için kullandığımız bir yöntemdir. Ağaç dallara ayrılır gibi, sayıyı sürekli çarpanlarına ayırırız.

🛠️ Çarpan Ağacı Yapma Adımları:

1. ➡️ Ayırmak istediğimiz sayıyı bir kutunun içine yazarız.
2. ➡️ Bu sayıyı, en küçük asal sayıdan başlayarak kalansız bölen bir asal sayı buluruz.
3. ➡️ Bulduğumuz asal çarpanı, sayının altına bir dal olarak çizer ve yazarız.
4. ➡️ Sayıyı bu asal çarpana böler, çıkan sonucu da asal çarpanın yanına yazarız.
5. ➡️ Bu işlemi, dalların ucundaki sayılar asal sayı olana kadar tekrarlarız.
6. ➡️ Ağacın en altında kalan tüm asal sayılar, başlangıçtaki sayımızın asal çarpanlarıdır.

🧩 Örnek Yapalım: 60 Sayısının Çarpan Ağacı

Haydi 60 sayısını çarpan ağacı yöntemiyle asal çarpanlarına ayıralım.

1. Adım: 60'ı yazalım.
2. Adım: 60'ı bölen en küçük asal sayı 2'dir. 60 ÷ 2 = 30.
3. Adım: 30'u bölen en küçük asal sayı yine 2'dir. 30 ÷ 2 = 15.
4. Adım: 15'i bölen en küçük asal sayı 3'tür. 15 ÷ 3 = 5.
5. Adım: 5 bir asal sayıdır. İşlemimiz bitti!

Ağacımız şöyle görünür:

      60
      /\
     2  30
        /\
       2  15
          /\
         3  5

Dalların en ucundaki asal sayılar: 2, 2, 3 ve 5.
O halde 60'ın asal çarpanları 2, 3 ve 5 tir. Bunu 2² x 3 x 5 şeklinde de yazabiliriz.

💡 Asal Çarpan Algoritması (Bölen Listesi)

Bu yöntemde ise sayıyı sürekli en küçük asal sayıya bölerek aşağıya doğru bir liste oluştururuz.

🛠️ Algoritma Adımları:

1. ➡️ Sayıyı, bölebileceğimiz en küçük asal sayıya böleriz.
2. ➡️ Bölümü, sayının altına yazarız.
3. ➡️ Bu işlemi, bölüm 1 olana kadar tekrarlarız.
4. ➡️ Kullandığımız tüm asal bölenler, sayının asal çarpanlarıdır.

🧩 Aynı Örneği Algoritma ile Yapalım: 60

Adım 1: 60'ı en küçük asal çarpanı olan 2'ye bölelim. 60 ÷ 2 = 30
Adım 2: 30'u en küçük asal çarpanı olan 2'ye bölelim. 30 ÷ 2 = 15
Adım 3: 15'i en küçük asal çarpanı olan 3'e bölelim. 15 ÷ 3 = 5
Adım 4: 5 bir asal sayı olduğu için 5'i 5'e bölelim. 5 ÷ 5 = 1
İşlem tamam!

Bölen listemiz şöyle görünür:

  2 | 60
  2 | 30
  3 | 15
  5 |  5
     1

Soldaki sütundaki sayılar: 2, 2, 3, 5.
Yine 60'ın asal çarpanlarının 2, 3 ve 5 olduğunu bulduk.

📌 Özet ve Püf Noktalar

• 🌟 Her iki yöntem de bizi aynı sonuca götürür. Hangisini kullanmak daha kolayınıza geliyorsa onu seçebilirsiniz.
• 🌟 İşleme her zaman en küçük asal sayıdan (2) başla.
• 🌟 Sayı 2'ye bölünmüyorsa bir sonraki asal sayı olan 3'ü dene, sonra 5, 7... şeklinde devam et.
• 🌟 Ağacın dallarının veya bölen listesinin en sonunda her zaman 1 kalır.
• 🌟 Bir sayının asal çarpanlarını bulduktan sonra, bu çarpanları çarparak sayının kendisini tekrar elde edebilirsin. Bu, işlemini kontrol etmene yardımcı olur! (2 x 2 x 3 x 5 = 60)