6. sınıf matematik çarpanlar ve katlar konu anlatımı

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Özellikle bir sayının çarpanlarını bulurken bazı sayıları atlayabiliyorum. Ayrıca EBOB ve EKOK arasındaki farkı ne zaman hangisini kullanacağımı karıştırıyorum.

Answer 1

Çarpanlar ve Katlar

Merhaba! Bu ders notumuzda, matematikte çok kullanacağımız çarpanlar ve katlar konusunu öğreneceğiz. Bu kavramlar, sayılar arasındaki ilişkileri anlamamızı kolaylaştırır.

Çarpan Nedir?

Bir sayıyı kalansız olarak bölebilen sayılara, o sayının çarpanları (ya da bölenleri) denir.

Örneğin, 12 sayısının çarpanlarını bulalım:

• 12'yi 1'e bölersek: \( 12 \div 1 = 12 \) → Kalansız. Demek ki 1 ve 12 birer çarpandır.
• 12'yi 2'ye bölersek: \( 12 \div 2 = 6 \) → Kalansız. Demek ki 2 ve 6 birer çarpandır.
• 12'yi 3'e bölersek: \( 12 \div 3 = 4 \) → Kalansız. Demek ki 3 ve 4 birer çarpandır.

12 sayısının çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12 şeklinde sıralanır.

Önemli: Her sayı, en az iki çarpana sahiptir: 1 ve kendisi.

Kat Nedir?

Bir sayının kalansız bölünebildiği sayılara, o sayının katları denir. Yani bir sayıyı sıfır dahil olmak üzere pozitif tam sayılarla (1, 2, 3, 4...) çarptığımızda elde ettiğimiz sonuçlar, o sayının katlarıdır.

Örneğin, 5 sayısının katlarını bulalım:

• \( 5 \times 1 = 5 \)
• \( 5 \times 2 = 10 \)
• \( 5 \times 3 = 15 \)
• \( 5 \times 4 = 20 \)

... ve bu böyle sonsuza kadar gider. Yani 5'in katları: 5, 10, 15, 20, 25, ... şeklindedir.

Unutma: Bir sayının katları asla bitmez, sonsuz tanedir.

Çarpanlar ve Katlar Arasındaki İlişki

Bu iki kavram aslında birbirinin tersi gibidir.

• 12 sayısı, 3'ün bir katıdır çünkü \( 3 \times 4 = 12 \).
• Aynı zamanda 3 sayısı, 12'nin bir çarpanıdır çünkü \( 12 \div 3 = 4 \) (kalan 0).

Yani, "A sayısı, B'nin çarpanı ise; B sayısı da A'nın katıdır." diyebiliriz.

Özet

• Çarpan: Bir sayıyı kalansız bölen sayılardır. Sayılı kadardır, sonsuz değildir.
• Kat: Bir sayının pozitif tam sayılarla çarpımından elde edilen sonuçlardır. Sonsuz tanedir.
• Her sayı, kendisinin hem çarpanı hem de katıdır.

Answer 2

6. Sınıf Matematik Çarpanlar ve Katlar Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir çiftçi, topladığı 48 elmayı ve 64 portakalı hiç meyve artmayacak ve her pakette eşit sayıda elma ve eşit sayıda portakal olacak şekilde paketlemek istiyor. Buna göre bu çiftçi en fazla kaç paket oluşturabilir?
a) 8
b) 12
c) 16
d) 24
Cevap: c) 16
Çözüm: Paket sayısının hem 48'in hem de 64'ün bir böleni olması gerekir. En fazla paket sayısı için bu iki sayının EBOB'u bulunur. EBOB(48,64) = 16'dır.

Soru 2: Bir otobüs durağından hareket eden iki otobüsten biri 15 dakikada, diğeri ise 25 dakikada bir sefer yapmaktadır. Saat 10:00'da birlikte sefere çıkan bu iki otobüs, tekrar ilk kez saat kaçta birlikte sefere çıkarlar?
a) 11:00
b) 11:15
c) 11:30
d) 12:00
Cevap: b) 11:15
Çözüm: Birlikte sefere çıkma süreleri 15 ve 25'in katı olmalıdır. İlk ortak katları EKOK(15,25) = 75 dakikadır. 10:00'a 75 dakika eklersek 11:15 bulunur.

Soru 3: 60'ın pozitif tam sayı çarpanlarının sayısı kaçtır?
a) 10
b) 12
c) 14
d) 16
Cevap: b) 12
Çözüm: 60'ı asal çarpanlarına ayıralım: \( 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \). Pozitif tam sayı bölen sayısı formülü ile üslerin birer fazlası çarpılır: (2+1) x (1+1) x (1+1) = 3 x 2 x 2 = 12.

Soru 4: Bir sınıftaki öğrenciler dörderli ve beşerli gruplandığında her seferinde 3 öğrenci açıkta kalıyor. Bu sınıftaki öğrenci sayısı 50'den az olduğuna göre, sınıf mevcudu en fazla kaçtır?
a) 43
b) 38
c) 33
d) 28
Cevap: a) 43
Çözüm: Öğrenci sayısına x diyelim. x, 4 ve 5'e bölündüğünde 3 kalanını veriyor. Yani x - 3 sayısı 4 ve 5'in katı olmalıdır. EKOK(4,5)=20'dir. x - 3 = 20k olur. x < 50 olduğundan, k=2 için x - 3 = 40, x=43 bulunur (en fazla).