? 8. Sınıf LGS Matematik: Çarpanlar ve Katlar
Çarpanlar ve katlar konusu, LGS'de karşımıza sıkça çıkan ve temel kavramları iyi anlamamızı gerektiren bir konu. Bu yazıda, MEB'in yayınladığı örnek sorular ve benzerlerini inceleyerek konuyu daha iyi kavramaya çalışacağız.
➕ Asal Çarpanlar ve Asal Sayılar
* ?
Asal Sayı: Sadece 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük doğal sayılara
asal sayı denir. İlk birkaç asal sayı: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...
* ?
Asal Çarpanlar: Bir sayıyı tam bölen asal sayılara o sayının
asal çarpanları denir. Bir sayının asal çarpanlarını bulmak için genellikle "asal çarpan algoritması" kullanılır.
Örnek: 36 sayısının asal çarpanlarını bulalım.
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1 |
Bu durumda, 36'nın asal çarpanları 2 ve 3'tür. 36 = $2^2 * 3^2$ şeklinde de yazabiliriz.
➗ En Büyük Ortak Bölen (EBOB)
* ? İki veya daha fazla sayının ortak bölenlerinin en büyüğüne
EBOB denir. EBOB bulunurken sayıların asal çarpanları bulunur ve ortak olanlardan üssü en küçük olanlar alınarak çarpılır.
Örnek: 24 ve 36 sayılarının EBOB'unu bulalım.
24 = $2^3 * 3$
36 = $2^2 * 3^2$
Ortak olanlar: 2 ve 3.
Üssü en küçük olanlar: $2^2$ ve $3^1$.
EBOB(24, 36) = $2^2 * 3 = 4 * 3 = 12$
✖️ En Küçük Ortak Kat (EKOK)
* ? İki veya daha fazla sayının ortak katlarının en küçüğüne
EKOK denir. EKOK bulunurken sayıların asal çarpanları bulunur ve tüm çarpanlardan üssü en büyük olanlar alınarak çarpılır.
Örnek: 24 ve 36 sayılarının EKOK'unu bulalım.
24 = $2^3 * 3$
36 = $2^2 * 3^2$
Tüm çarpanlar: 2 ve 3.
Üssü en büyük olanlar: $2^3$ ve $3^2$.
EKOK(24, 36) = $2^3 * 3^2 = 8 * 9 = 72$
❓ MEB Tarzı Sorular ve Çözümleri
Şimdi de LGS'de çıkabilecek tarzda sorulara ve çözümlerine bakalım.
Soru 1:
Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) İki asal sayının EBOB'u her zaman 1'dir.
B) İki sayının EKOK'u her zaman bu sayıların çarpımına eşittir.
C) Ardışık iki sayının EBOB'u her zaman 2'dir.
D) İki sayının EBOB'u, bu sayıların EKOK'undan büyüktür.
Çözüm:
* ? A seçeneği doğrudur. Çünkü asal sayılar sadece 1'e ve kendisine bölünebildiği için ortak bölenleri sadece 1 olabilir.
* ? B seçeneği yanlıştır. Sadece aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarına eşittir.
* ? C seçeneği yanlıştır. Ardışık iki sayının EBOB'u her zaman 1'dir.
* ? D seçeneği yanlıştır. EBOB, EKOK'tan her zaman küçüktür.
Cevap: A
Soru 2:
$A = 2^3 * 3 * 5^2$ ve $B = 2 * 3^2 * 5$ sayılarının EBOB'u kaçtır?
Çözüm:
Ortak olan çarpanlar: 2, 3 ve 5.
Üssü en küçük olanlar: $2^1$, $3^1$ ve $5^1$.
EBOB(A, B) = $2 * 3 * 5 = 30$
Cevap: 30
Soru 3:
Boyutları 12 cm ve 18 cm olan dikdörtgen şeklindeki kartonlar, yan yana ve üst üste konularak bir kare elde edilmek isteniyor. Bu şekilde elde edilebilecek en küçük karenin bir kenar uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
Karenin bir kenar uzunluğu hem 12'nin hem de 18'in katı olmalıdır. Bu nedenle 12 ve 18'in EKOK'unu bulmalıyız.
12 = $2^2 * 3$
18 = $2 * 3^2$
EKOK(12, 18) = $2^2 * 3^2 = 4 * 9 = 36$
Cevap: 36
Umarım bu örnekler, çarpanlar ve katlar konusunu daha iyi anlamanıza yardımcı olmuştur. Başarılar!
