Geometride, iki üçgenin benzer olduğunu kanıtlamanın farklı yolları vardır. Bu yollardan en basit ve en sık kullanılanı Açı - Açı (A-A) Benzerlik Kuralı'dır.
İki üçgenin karşılıklı ikişer açısı eşit ise, bu iki üçgen benzerdir. Üçüncü açılarının da eşit olacağını unutmayın, çünkü bir üçgenin iç açıları toplamı her zaman 180°'dir.
Eğer;
Bir üçgenin şeklini belirleyen en önemli unsur açılarıdır. İki üçgenin karşılıklı iki açısı eşitse, üçüncü açıları da otomatikman eşit olur. Bu da üçgenlerin aynı şekle sahip olduğu, sadece boyutlarının farklı olabileceği anlamına gelir. Yani birinin küçültülmüş veya büyütülmüş kopyasıdırlar.
Aşağıdaki gibi iki üçgenimiz olsun:
Bu durumda:
Karşılıklı ikişer açı eşit olduğu için, bu iki üçgen benzerdir: \( \triangle ABC \sim \triangle KLM \).
Üçüncü açıları da kontrol edelim:
Açı - Açı Benzerlik Kuralı, iki üçgenin benzerliğini ispatlamak için kenar uzunluklarını bilmemize gerek olmadan, sadece açı ölçülerini kullanmamızı sağlayan çok güçlü bir kuraldır.
Soru 1: Bir mimar, tasarladığı binanın ön cephesini çizerken iki farklı büyüklükte üçgen kullanmıştır. Bu üçgenlerin karşılıklı ikişer açısının ölçüleri eşittir. Mimar, bu iki üçgenin benzer olduğunu söylemektedir.
Mimarın bu iddiasını doğrulamak için aşağıdakilerden hangisinin kontrol edilmesi yeterlidir?
a) Üçgenlerin çevrelerinin oranının sabit olup olmadığına
b) Karşılıklı kenar uzunluklarının oranlarının eşit olup olmadığına
c) Üçgenlerin alanlarının oranının sabit olup olmadığına
d) Üçüncü açılarının ölçülerinin eşit olup olmadığına
e) Üçgenlerin birer kenar uzunluğunun eşit olup olmadığına
Cevap: d) Üçüncü açılarının ölçülerinin eşit olup olmadığına
Çözüm: Bir üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğu için, iki açısı eşit olan üçgenlerin üçüncü açıları da eşit olmak zorundadır. Bu durum, üçgenlerin "Açı-Açı" benzerlik kuralına uyduğunu gösterir. Diğer seçenekler, benzerliğin bir sonucudur, benzer olduklarını göstermek için yeterli koşul değildir.
Soru 2: Aşağıdaki şekilde [BA // [DE'dir. |AB| = 6 cm, |BC| = 9 cm ve |CD| = 3 cm olarak verilmiştir. Buna göre, |DE| kaç cm'dir?
(Şekil anlatımı: ABC üçgeni ile EDC üçgeni C noktasında birleşmiş durumdadır. A, B, C noktaları üstte; E, D, C noktaları altta olacak şekildedir ve AB doğru parçası DE doğru parçasına paraleldir.)
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
Cevap: a) 2
Çözüm: [BA // [DE olduğu için yöndeş açılar eşittir: m(∠ABC) = m(∠EDC) ve m(∠BAC) = m(∠DEC). Ayrıca, ∠BCA ile ∠ECD ters açılar olduğundan eşittir. Bu durumda, ABC üçgeni ile EDC üçgeni Açı-Açı-Açı benzerlik kuralına göre benzerdir. Benzerlik oranı, |BC| / |DC| = 9 / 3 = 3'tür. |AB| / |DE| = 3 olduğundan, 6 / |DE| = 3 ⇒ |DE| = 2 cm bulunur.
Soru 3: Bir öğrenci, elindeki 15 cm'lik cetvelle, yerden 180 cm yükseklikteki bir lambanın gölgesinin uzunluğunu ölçmek istiyor. Cetveli dik olarak yere tuttuğunda, cetvelin 12 cm'lik gölgesi oluşuyor. Aynı anda lambanın gölgesinin uzunluğu 3,6 metre ölçülüyor.
Bu ölçümlerden yola çıkarak, öğrencinin yaptığı işlemin doğruluğunu kontrol etmek isteyen bir kişi aşağıdaki benzerlik oranlarından hangisini kurmalıdır?
a) (Cetvelin Boyu) / (Lambanın Boyu) = (Cetvelin Gölgesi) / (Lambanın Gölgesi)
b) (Lambanın Boyu) / (Cetvelin Boyu) = (Lambanın Gölgesi) / (Cetvelin Gölgesi)
c) (Cetvelin Boyu) / (Lambanın Gölgesi) = (Lambanın Boy
