Olasılık konusunda olayları incelerken, olayların birbiriyle ilişkisini anlamak önemlidir. Bu noktada olayları ayrık olaylar ve ayrık olmayan olaylar olarak ikiye ayırırız.
Ayrık Olmayan Olaylar, aynı anda gerçekleşebilen olaylardır. Yani, iki olayın kesişimi boş küme değildir. Başka bir deyişle, bu iki olay birlikte meydana gelebilir.
İki olay verildiğinde, "Acaba bu iki olay aynı anda olabilir mi?" sorusunu sorarız. Cevabımız "Evet" ise, bu olaylar ayrık olmayan olaylardır.
Örnek 1: Bir zar atalım.
Bu iki olayın kesişimine bakalım: A ∩ B = {6}
Kesişimleri boş küme olmadığı için (6 sonucu her ikisini de sağlar) bu olaylar ayrık olmayan olaylardır. Zarın 6 gelmesi durumunda hem A hem de B olayı aynı anda gerçekleşir.
Örnek 2: Bir sınıftaki öğrenciler üzerinden düşünelim.
Bir öğrencinin hem kahverengi gözleri hem de siyah saçları olabilir. Bu durumda bu iki olay aynı anda gerçekleşebilir. Bu yüzden bu olaylar ayrık olmayan olaylardır.
Ayrık Olaylar ise aynı anda gerçekleşemezler. Örneğin bir zar atıldığında "2 gelmesi" ve "5 gelmesi" olayları ayrık olaylardır çünkü bir zar aynı anda hem 2 hem 5 gelemez. Kesişimleri boş kümedir.
Soru 1: Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının 3'ten büyük veya çift sayı olma olasılığı araştırılmaktadır. Bu iki olayın ayrık olmayan olaylar olduğu aşağıdaki durumlardan hangisi ile doğrulanabilir?
a) Zarın 4 gelmesi durumu b) Zarın 1 gelmesi durumu c) Zarın 6 gelmesi durumu d) Zarın 5 gelmesi durumu e) Zarın 2 gelmesi durumu
Cevap: a) Zarın 4 gelmesi durumu
Çözüm: A olayı: "3'ten büyük sayı" = {4, 5, 6}, B olayı: "çift sayı" = {2, 4, 6}. Bu iki olayın kesişimi {4, 6}'dır. Zarın 4 gelmesi durumu her iki olayı da gerçekleştirdiği için ayrık olmadıklarını gösterir.
Soru 2: Bir sınıftaki öğrencilerden rastgele biri seçiliyor. A: "Seçilen öğrencinin gözlüklü olması", B: "Seçilen öğrencinin sarışın olması" olayları veriliyor. Bu iki olayın ayrık olmama olasılığının sıfırdan farklı olması için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğru olmalıdır?
a) Sınıfta gözlüklü öğrenci yoktur b) Sınıfta sarışın öğrenci yoktur c) Sınıfta gözlüklü ve sarışın en az bir öğrenci vardır d) Tüm gözlüklü öğrenciler sarışındır e) Hiçbir sarışın öğrenci gözlük kullanmaz
Cevap: c) Sınıfta gözlüklü ve sarışın en az bir öğrenci vardır
Çözüm: Ayrık olmayan olayların kesişimleri boş kümeden farklıdır. Bu durumda A ∩ B ≠ ∅ olmalıdır, yani hem gözlüklü hem sarışın en az bir öğrenci bulunmalıdır.
Soru 3: Bir mağazadan rastgele bir müşteri seçiliyor. C: "Müşterinin kredi kartı kullanması", D: "Müşterinin indirim kuponu kullanması" olayları için P(C) = 0,4, P(D) = 0,3 ve P(C ∪ D) = 0,6 değerleri veriliyor. Buna göre bu iki olayın ayrık olmadığını gösteren P(C ∩ D) değeri kaçtır?
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,5 e) 0,7
Cevap: a) 0,1
Çözüm: P(C ∪ D) = P(C) + P(D) - P(C ∩ D) formülünden 0,6 = 0,4 + 0,3 - P(C ∩ D) ⇒ P(C ∩ D) = 0,7 - 0,6 = 0,1 bulunur. P(C ∩ D) ≠ 0 olduğu için olaylar ayrık değildir.
Soru 4: Bir okuldaki öğrenciler üzerinde yapılan araştırmada: E: "Öğrencinin matematikten başarılı olması", F: "Öğrencinin fizikten başarılı olması" olayları inceleniyor. Bu iki olayın ayrık olmamasının pratik anlamı aşağıdakilerden hangisidir?
a) Matematikten başarılı olan öğrenciler fizikten başarısızdır b) Fizikten başarılı olan öğrenciler matematikten başarısızdır c) En az bir öğrenci hem matematikten hem fizikten başarılıdır d) Hi
Soru 1: Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının 3'ten büyük veya çift sayı olma olasılığı araştırılıyor. Bu iki olayın ayrık olmayan olaylar olduğu gözlemleniyor. Buna göre, aşağıdaki ifadelerden hangisi bu durumu en iyi açıklar?
a) İki olayın kesişim kümesi boş kümedir
b) İki olay aynı anda gerçekleşebilir
c) İki olayın gerçekleşme olasılıkları eşittir
d) İki olaydan sadece biri gerçekleşebilir
e) İki olayın birleşim kümesi örnek uzaya eşittir
Cevap: b) İki olay aynı anda gerçekleşebilir
Çözüm: Zar atıldığında 4 ve 6 sayıları hem 3'ten büyük hem de çift sayıdır. Bu nedenle bu iki olay aynı anda gerçekleşebilir ve ayrık olmayan olaylardır.
Soru 2: Bir sınıfta 25 öğrenci vardır. 15 öğrenci matematikten, 12 öğrenci fizikten başarılıdır. 8 öğrenci ise her iki dersten de başarılıdır. Rastgele seçilen bir öğrencinin matematikten veya fizikten başarılı olma olasılığı hesaplanıyor. Bu durumda matematikten başarılı olma (M) ve fizikten başarılı olma (F) olayları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) M ve F olayları ayrık olaylardır
b) M ve F olaylarının kesişimi boş kümedir
c) M ve F olayları ayrık olmayan olaylardır
d) M ve F olayları bağımsız olaylardır
e) M ve F olayları eş olasılıklıdır
Cevap: c) M ve F olayları ayrık olmayan olaylardır
Çözüm: 8 öğrenci her iki dersten de başarılı olduğuna göre, M ∩ F ≠ ∅'dir. Bu nedenle bu iki olay ayrık değildir, ayrık olmayan olaylardır.
Soru 3: Bir kutuda 5 kırmızı, 4 mavi ve 3 yeşil top vardır. Kutudan rastgele bir top çekiliyor. Çekilen topun kırmızı veya mavi olma olasılığı araştırılıyor. Bu iki olayın ayrık olmayan olaylar olup olmadığı soruluyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) Olaylar ayrıktır çünkü aynı top hem kırmızı hem mavi olamaz
b) Olaylar ayrık olmayandır çünkü kesişimleri boş değildir
c) Olaylar ayrık olmayandır çünkü aynı anda gerçekleşebilirler
d) Olaylar ayrıktır çünkü farklı renklerdir
e) Olaylar ayrık olmayandır çünkü olasılıkları eşittir
Cevap: a) Olaylar ayrıktır çünkü aynı top hem kırmızı hem mavi olamaz
Çözüm: Bir top aynı anda hem kırmızı hem mavi olamayacağı için bu iki olayın kesişimi boş kümedir. Bu nedenle olaylar ayrıktır, ayrık olmayan değildir.
