1. Bir üçgende bir açının ölçüsü 90° ise bu üçgene ________ üçgen denir.
2. Bir dik üçgende 90° lik açının karşısındaki kenara ________ denir.
3. Dik üçgenlerde dik kenarların kareleri toplamı ________ eşittir.
Aşağıdaki ifadelerin doğru (D) veya yanlış (Y) olduğunu belirtiniz.
1. ( ) Bir dik üçgende en uzun kenar her zaman hipotenüstür.
2. ( ) Bir üçgenin kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm, 10 cm ise bu üçgen bir dik üçgendir.
3. ( ) Bir dik üçgende hipotenüs her zaman bir dik kenardan daha kısadır.
Aşağıdaki ifadeleri uygun tanımlarla eşleştiriniz.
1. Kenar uzunlukları 5 cm ve 12 cm olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
2. Hipotenüs uzunluğu 17 cm ve bir dik kenarı 15 cm olan bir dik üçgenin diğer dik kenar uzunluğu kaç cm'dir?
3. Bir dik üçgende hipotenüse ait yüksekliğin uzunluğu 6 cm ve bu yüksekliğin hipotenüs üzerinde ayırdığı parçalardan biri 4 cm ise, diğer parçanın uzunluğu kaç cm'dir?
1. Aşağıdaki kenar uzunluklarından hangisi bir dik üçgene ait olamaz?
a) 3, 4, 5 b) 5, 12, 13 c) 7, 24, 25 d) 4, 5, 6
2. Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu 10 cm ve bir dik kenar uzunluğu 6 cm ise, diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir?
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10
3. Aşağıdaki üçgenlerden hangisi kesinlikle bir dik üçgendir?
a) İkizkenar üçgen b) Eşkenar üçgen c) Çeşitkenar üçgen d) Kenar uzunlukları 9, 12, 15 olan üçgen
Cevaplar:
A.1: dik, A.2: hipotenüs, A.3: hipotenüsün karesine
B.1: D, B.2: D, B.3: Y
C.1: B, C.2: A, C.3: C
D.1: 13, D.2: 8, D.3: 9
E.1: d, E.2: b, E.3: d
Bir üçgenin iç açılarından birinin ölçüsü 90° ise, bu üçgene dik üçgen denir. Dik üçgenin en önemli özelliği, dik açının karşısındaki kenara hipotenüs denmesidir. Hipotenüs, dik üçgenin en uzun kenarıdır.
Dik üçgenlerle ilgili en önemli kural Pisagor Teoremi'dir. Bu teoreme göre, bir dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı, hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir.
Eğer dik kenarların uzunlukları \( a \) ve \( b \), hipotenüsün uzunluğu \( c \) ise, Pisagor Teoremi şu şekilde yazılır:
\( a^2 + b^2 = c^2 \)
Bir dik üçgenin dik kenar uzunlukları 6 cm ve 8 cm'dir. Buna göre bu üçgenin hipotenüs uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm: Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \) → \( 36 + 64 = c^2 \) → \( 100 = c^2 \). Buradan \( c = 10 \) cm bulunur. Cevap: B
Hipotenüsünün uzunluğu 15 cm ve dik kenarlarından birinin uzunluğu 9 cm olan bir dik üçgenin diğer dik kenarı kaç cm'dir?
Çözüm: Pisagor Teoremi'ni yazalım: \( 9^2 + b^2 = 15^2 \) → \( 81 + b^2 = 225 \) → \( b^2 = 225 - 81 \) → \( b^2 = 144 \). Buradan \( b = 12 \) cm bulunur. Cevap: B
Aşağıdaki kenar uzunluklarından hangisi bir dik üçgene ait olamaz?
Çözüm: Seçeneklerdeki sayıları Pisagor Teoremi'ne göre kontrol edelim. En büyük sayı hipotenüs kabul edilir.
Soru 1: Bir dik üçgende hipotenüsün uzunluğu 13 cm ve dik kenarlardan birinin uzunluğu 5 cm'dir. Buna göre, diğer dik kenarın uzunluğu kaç cm'dir?
a) 8 b) 10 c) 12 d) 15 e) 17
Cevap: c) 12
Çözüm: Pisagor teoremine göre: \( 5^2 + x^2 = 13^2 \) → \( 25 + x^2 = 169 \) → \( x^2 = 144 \) → \( x = 12 \) cm.
Soru 2: Bir bahçenin tasarımında, zemine dik duran 8 metre uzunluğundaki bir direğin gölgesi 6 metre ölçülmüştür. Buna göre, güneş ışınlarının geliş açısını temsil eden üçgende hipotenüs uzunluğu kaç metredir?
a) 9 b) 10 c) 12 d) 14 e) 15
Cevap: b) 10
Çözüm: Direk (dik kenar = 8 m) ve gölgesi (dik kenar = 6 m) bir dik üçgen oluşturur. Hipotenüs (güneş ışınının yolunun izdüşümü) Pisagor teoremi ile: \( \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \) m.
Soru 3: Bir dik üçgende dar açılardan birinin ölçüsü 30°'dir. Bu üçgenin hipotenüs uzunluğu 20 cm olduğuna göre, 30°'lik açının karşısındaki kenarın uzunluğu kaç cm'dir?
a) 5 b) 10 c) \(10\sqrt{2}\) d) \(10\sqrt{3}\) e) 15
Cevap: b) 10
Çözüm: 30°-60°-90° üçgeninde, 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısıdır. Hipotenüs 20 cm ise, 30°'nin karşısındaki kenar = \( \frac{20}{2} = 10 \) cm'dir.
Soru 4: Bir mühendis, yere dik olacak şekilde 24 metre uzunluğunda bir destek kirişi kullanarak, 10 metre yüksekliğindeki bir duvarı güçlendirmek istiyor. Kirişin alt ucu duvarın tabanından kaç metre uzakta olmalıdır?
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
Cevap: d) 26
Çözüm: Duvar (dik kenar = 10 m) ve kiriş (hipotenüs = 24 m) bir dik üçgen oluşturur. Diğer dik kenar (mesafe) Pisagor teoremi ile: \( x = \sqrt{24^2 - 10^2} = \sqrt{576 - 100} = \sqrt{476} \). \( \sqrt{476} = \sqrt{4 \times 119} = 2\sqrt{119} \) olur, ancak seçenekler tam kare değil. Hesaplama hatası yapılmıştır. Doğrusu: \( x = \sqrt{576 - 100} = \sqrt{476} \). \( 22^2 = 484 \) ve \( 21^2=441 \) olduğundan, bu seçeneklerde yok. Soruya göre seçenekler kontrol edilmeli. Doğru hesapla: \( 24^2 = 576 \), \( 10^2=100 \), \( 576-100=476 \), \( \sqrt{476} \approx 21.8 \) çıkar, bu da seçeneklerde yok. Bu nedenle soruya uygun olarak, hipotenüs 26 m, duvar 10 m ise, mesafe: \( \sqrt{26^2 - 10^2} = \sqrt{676 - 100} = \sqrt
Soru 1: Bir arsa, kenar uzunlukları 8 metre ve 15 metre olan dikdörtgen şeklindedir. Arsanın bir köşesinden diğer köşesine doğru düz bir yol yapılacaktır. Bu yolun uzunluğu kaç metredir?
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
Cevap: B
Çözüm: Dikdörtgenin karşılıklı köşeleri arasındaki uzaklık köşegendir ve köşegen, dikdörtgeni iki eş dik üçgene ayırır. Pisagor teoremine göre: Yolun uzunluğu = \( \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \) metre.
Soru 2: Yüksekliği 12 metre olan bir direğin tepesinde bir kuş vardır. Kuş, yerdeki bir yiyeceği görebilmektedir. Yiyecek, direğin tabanından 5 metre uzakta olduğuna göre, kuşun yiyeceğe olan uzaklığı (doğrusal) kaç metredir?
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
Cevap: A
Çözüm: Direk yere dik olduğu için bir dik üçgen oluşur. Kuşun yiyeceğe olan uzaklığı hipotenüstür. Pisagor teoremine göre: Uzaklık = \( \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \) metre.
Soru 3: Hipotenüsünün uzunluğu 25 cm ve dik kenarlarından birinin uzunluğu 7 cm olan bir dik üçgenin çevresi kaç cm'dir?
a) 54
b) 56
c) 58
d) 60
e) 62
Cevap: B
Çözüm: Bilinmeyen dik kenarın uzunluğuna \( a \) diyelim. Pisagor teoremine göre: \( 7^2 + a^2 = 25^2 \) → \( 49 + a^2 = 625 \) → \( a^2 = 576 \) → \( a = 24 \) cm. Üçgenin çevresi = \( 7 + 24 + 25 = 56 \) cm.
