Gerçek sayı aralıkları, reel sayıların belirli bir kümesini ifade eder. Bu aralıklar, sayı doğrusu üzerinde bir başlangıç ve bitiş noktası ile tanımlanır. Aralıkların türleri şunlardır:
Başlangıç ve bitiş noktaları dahil olan aralıktır. [a, b] şeklinde gösterilir.
Örnek: \( [2, 5] \) → 2 ve 5 dahil olmak üzere 2 ile 5 arasındaki tüm sayılar.
Başlangıç ve bitiş noktaları dahil olmayan aralıktır. (a, b) şeklinde gösterilir.
Örnek: \( (1, 4) \) → 1 ve 4 dahil değil, arasındaki tüm sayılar.
Bir ucu kapalı, diğer ucu açık olan aralıktır. İki türü vardır:
Örnek: \( [3, 7) \) → 3 dahil, 7 dahil değil.
Bir ucu sonsuza uzanan aralıklardır. Örnekler:
Örnek: \( (-∞, 4] \) → 4 ve daha küçük tüm sayılar.
1. Aşağıdaki ifadelerden hangisi \( x \in [-2, 5) \) aralığındaki gerçek sayıları doğru şekilde tanımlar?
a) \(-2 \leq x < 5\)
b) \(-2 < x \leq 5\)
c) \(-2 \leq x \leq 5\)
d) \(-2 < x < 5\)
e) \(-2 \geq x > 5\)
Cevap: a) \(-2 \leq x < 5\)
Çözüm: Köşeli parantez \([\) kapalı aralığı (eşitlik dahil), yuvarlak parantez \()\) açık aralığı (eşitlik hariç) gösterir.
2. \( A = (-\infty, 3] \) ve \( B = [1, 7) \) kümeleri veriliyor. \( A \cap B \) kesişim kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \([1, 3]\)
b) \([1, 3)\)
c) \((1, 3]\)
d) \((-\infty, 7)\)
e) \([3, 7)\)
Cevap: a) \([1, 3]\)
Çözüm: Kesişim, her iki kümede de bulunan ortak elemanlardır. \( A \)'da \( x \leq 3 \), \( B \)'de \( x \geq 1 \) olduğundan cevap \([1, 3]\).
3. \( x \) gerçek sayısı için \( |x - 4| \leq 2 \) eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
a) \([2, 6]\)
b) \((-2, 6)\)
c) \([4, 6]\)
d) \((2, 6)\)
e) \([-2, 4]\)
Cevap: a) \([2, 6]\)
Çözüm: Mutlak değer eşitsizliği \(-2 \leq x - 4 \leq 2\) şeklinde çözülür. Her tarafa 4 eklenirse \( 2 \leq x \leq 6 \) elde edilir.
4. \( 3x + 5 > 11 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( x > 2 \)
b) \( x < 2 \)
c) \( x \geq 2 \)
d) \( x \leq 2 \)
e) \( x > -2 \)
Cevap: a) \( x > 2 \)
Çözüm: Eşitsizlik çözülürken \( 3x > 6 \) ve \( x > 2 \) bulunur. Açık aralık olduğu için 2 dahil değildir.
1. \( x \in [2, 5) \) aralığındaki bir sayı için \( x \) en az ______, en fazla ______ olabilir.
2. \( (-\infty, 4] \) aralığındaki tüm sayılar ______ veya ______ olabilir.
Aşağıdaki aralıkları doğru ifadelerle eşleştirin:
1. \( 5 \in (5, 10) \) (D/Y)
2. \( -2 \in [-3, -1] \) (D/Y)
3. \( (-\infty, 4) \) aralığında 4 bulunur. (D/Y)
1. \( x \in (-2, 3] \) aralığındaki tam sayıları yazınız.
2. \( [a, b) \) aralığının tanımını yapınız.
1. Hangisi \( (1, 4] \) aralığının elemanıdır?
a) 1 b) 2.5 c) 4 d) 5
2. \( [0, \infty) \) aralığı hangi sayıları içermez?
a) Pozitif sayılar b) Negatif sayılar c) 0 d) Tüm gerçek sayılar
Cevaplar:
1: 2, 5'ten küçük 2: 4, 4'ten küçük
a-1, b-2, c-3
1: Y, 2: D, 3: Y
1: -1, 0, 1, 2, 3 2: a dahil, b hariç tüm sayılar
1: b, c 2: b
Soru 1: Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi hangi aralıkta tanımlıdır?
\[ \begin{cases} 2x - 5 \leq 3 \\ x + 4 > 1 \end{cases} \]
a) \( (-\infty, 4] \) b) \( (-3, 4] \) c) \( [4, \infty) \) d) \( (-\infty, -3) \) e) \( [-3, 4) \)
Cevap: b) \( (-3, 4] \)
Çözüm: İlk eşitsizlikten \( x \leq 4 \), ikinciden \( x > -3 \) bulunur. Çözüm kümesi bu iki aralığın kesişimidir.
Soru 2: \( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| < 5 \} \) kümesinin gösterdiği aralık aşağıdakilerden hangisidir?
a) \( (-7, 7) \) b) \( (-3, 7) \) c) \( (-\infty, 7] \) d) \( [-3, 7] \) e) \( (-5, 5) \)
Cevap: b) \( (-3, 7) \)
Çözüm: Mutlak değer eşitsizliği \( -5 < x - 2 < 5 \) şeklinde çözülür. Her tarafa 2 eklenirse \( -3 < x < 7 \) elde edilir.
